Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Производни

🍎 През 1665–1666 г. университетът в Кеймбридж е затворен заради чумата и младият Исак Нютон се прибира в селото си. Там измисля „метода на флуксиите“ – начин да пресметне скоростта, с която се променя всяка величина. Почти по същото време, независимо от него, Готфрид Лайбниц в Германия стига до същите идеи и пръв ги публикува – през 1684 г. Последвал един от най-ожесточените спорове в историята на науката: кой е първи? Кралското общество в Лондон отсъдило в полза на Нютон – но докладът бил написан до голяма степен от самия Нютон. Днес историците смятат, че двамата са открили анализа независимо, а ние пишем производните с означенията на Лайбниц.

1. От средна към моментна скорост

🤔 Загадка: Изминал си 120 km за 2 часа – средната ти скорост е 60 km/h. Но скоростомерът показва друго число във всеки момент. Как да пресметнем скоростта точно сега, щом за един миг не изминаваме никакъв път?

Средната скорост на изменение на функция ff между x0x_0 и x0+hx_0 + h е ΔyΔx=f(x0+h)−f(x0)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. На графиката това е наклонът на секущата – правата през двете точки. Идеята на Нютон и Лайбниц е да намаляваме hh, докато втората точка почти съвпадне с първата.

О

Производна

Производна на функцията ff в точката x0x_0 е границата f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, ако тя съществува. Означаваме я още dydx\frac{dy}{dx} (Лайбниц). Ако ff има производна във всяка точка от интервал, получаваме нова функция f′(x)f'(x).
−2−1123123450xyPQ
Δy/Δx =3f′(x₀) =2разлика1

Наклонът на секущата е средната скорост на изменение между P и Q.

💡 Плъзгай h към нула: точката Q се приближава до P, а секущата (синята права) – до допирателната (пунктир). Наклонът на секущата Δy/Δx клони към производната f′(x₀).

Пример

Да намерим производната на f(x)=x2f(x) = x^2 по определение.

  1. f(x+h)−f(x)h=(x+h)2−x2h=2xh+h2h=2x+h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h
  2. При h→0h \to 0 получаваме f′(x)=2xf'(x) = 2x.
  3. Например f′(1)=2f'(1) = 2 – точно числото, към което клони наклонът на секущата в лабораторията.

2. Производна и допирателна

Т

Уравнение на допирателната

Числото f′(x0)f'(x_0) е ъгловият коефициент (наклонът) на допирателната към графиката в точката (x0; f(x0))(x_0;\ f(x_0)). Уравнението на допирателната е y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).
Откъде идва уравнението?
  1. Права с наклон kk, която минава през точката (x0; y0)(x_0;\ y_0), има уравнение y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0): за всяка друга нейна точка отношението y−y0x−x0\frac{y - y_0}{x - x_0} е точно наклонът kk.
  2. Секущата през (x0; f(x0))(x_0;\ f(x_0)) и (x0+h; f(x0+h))(x_0 + h;\ f(x_0 + h)) има наклон f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. Допирателната е граничното положение на секущите при h→0h \to 0, затова наклонът ѝ е границата на тези наклони – т.е. f′(x0)f'(x_0).
  3. Заместваме y0=f(x0)y_0 = f(x_0) и k=f′(x0)k = f'(x_0): y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).

∎

Пример

Да напишем уравнението на допирателната към y=x2y = x^2 в точката с абсциса x0=3x_0 = 3.

  1. f(3)=9f(3) = 9, f′(x)=2x⇒f′(3)=6f'(x) = 2x \Rightarrow f'(3) = 6
  2. y=9+6(x−3)y = 9 + 6(x - 3)
  3. y=6x−9y = 6x - 9

Не всяка функция има производна навсякъде. Графиката на y=∣x∣y = |x| има „чупка“ в нулата: отляво наклонът е −1-1, отдясно +1+1, и допирателна там няма. Затова казваме, че производна има там, където графиката е „гладка“.

3. Таблица и правила за диференциране

Намирането на производна се нарича диференциране. Не е нужно всеки път да търсим граница – достатъчни са таблицата на основните производни и няколко правила.

функцияпроизводна
cc00
xnx^nnxn−1n x^{n-1}
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
1x\frac{1}{x}−1x2-\frac{1}{x^2}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
axa^xaxln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
Откъде идва таблицата?
  1. Константа: c−ch=0\frac{c - c}{h} = 0 за всяко hh, затова c′=0c' = 0.
  2. xnx^n при естествено nn: по бинома на Нютон (x+h)n=xn+nxn−1h+h2⋅(…)(x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + h^2 \cdot (\ldots), където в скобите има многочлен на xx и hh. Тогава (x+h)n−xnh=nxn−1+h⋅(…)\frac{(x + h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + h \cdot (\ldots) →nxn−1\to nx^{n-1}
  3. x\sqrt{x} (при x>0x > 0): рационализираме – умножаваме по x+h+x\sqrt{x + h} + \sqrt{x}: x+h−xh=1x+h+x→12x\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}
  4. 1x\frac{1}{x}: 1h(1x+h−1x)=−1x(x+h)→−1x2\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}\right) = \frac{-1}{x(x + h)} \to -\frac{1}{x^2}
  5. sin⁡x\sin x: по формулата за синус от сбор sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h, следователно sin⁡(x+h)−sin⁡xh\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} =sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh= \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} От първата забележителна граница sin⁡hh→1\frac{\sin h}{h} \to 1, а cos⁡h−1h=−2sin⁡2h2h=−sin⁡h2⋅sin⁡h2h2→0⋅1=0\frac{\cos h - 1}{h} = -\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{h} = -\sin \frac{h}{2} \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 0 \cdot 1 = 0. Остава cos⁡x\cos x.
  6. cos⁡x\cos x – по същия начин с cos⁡(x+h)=cos⁡xcos⁡h−sin⁡xsin⁡h\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h: получаваме cos⁡x⋅0−sin⁡x⋅1=−sin⁡x\cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x.
  7. exe^x: ex+h−exh=ex⋅eh−1h\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}. Полагаме t=eh−1t = e^h - 1, т.е. h=ln⁡(1+t)h = \ln(1 + t); при h→0h \to 0 и t→0t \to 0. Тогава eh−1h=tln⁡(1+t)=1ln⁡(1+t)1t\frac{e^h - 1}{h} = \frac{t}{\ln(1 + t)} = \frac{1}{\ln (1 + t)^{\frac{1}{t}}} →1ln⁡e=1\to \frac{1}{\ln e} = 1 (втората забележителна граница от урока „Граници“). Затова (ex)′=ex(e^x)' = e^x – това е причината ee да е „естествената“ основа.
  8. ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a} и по верижното правило (т. 4) (ax)′=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a(a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a.
  9. ln⁡x\ln x: диференцираме тъждеството eln⁡x=xe^{\ln x} = x по верижното правило: eln⁡x⋅(ln⁡x)′=1e^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1, т.е. x⋅(ln⁡x)′=1x \cdot (\ln x)' = 1 и (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}.
  10. Формулата (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1} важи за всяко реално nn при x>0x > 0: xn=enln⁡xx^n = e^{n \ln x}, откъдето (xn)′=xn⋅nx=nxn−1(x^n)' = x^n \cdot \frac{n}{x} = nx^{n-1}. Частни случаи са x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} и 1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}.

∎

Т

Правила за диференциране

(u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'; (c⋅u)′=c⋅u′(c \cdot u)' = c \cdot u'; (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'; (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} при v≠0v \ne 0.
Доказателство на правилата
  1. Сбор и константа: (u+v)(x+h)−(u+v)(x)h=u(x+h)−u(x)h+v(x+h)−v(x)h→u′+v′\frac{(u + v)(x + h) - (u + v)(x)}{h} = \frac{u(x + h) - u(x)}{h} + \frac{v(x + h) - v(x)}{h} \to u' + v'. Аналогично константата cc просто се изнася пред дробта.
  2. Произведение: прибавяме и изваждаме u(x)v(x+h)u(x)v(x + h): u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x) =[u(x+h)−u(x)]v(x+h)= \left[u(x + h) - u(x)\right]v(x + h) +u(x)[v(x+h)−v(x)]+ u(x)\left[v(x + h) - v(x)\right]
  3. Делим на hh. Функция с производна е непрекъсната, затова v(x+h)→v(x)v(x + h) \to v(x), и получаваме (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.
  4. Частно: първо (1v)′=lim⁡1h(1v(x+h)−1v(x))=lim⁡−1v(x+h)v(x)⋅v(x+h)−v(x)h=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = \lim \frac{1}{h}\left(\frac{1}{v(x + h)} - \frac{1}{v(x)}\right) = \lim \frac{-1}{v(x + h)v(x)} \cdot \frac{v(x + h) - v(x)}{h} = -\frac{v'}{v^2}.
  5. После по правилото за произведение: (uv)′=(u⋅1v)′\left(\frac{u}{v}\right)' = \left(u \cdot \frac{1}{v}\right)' =u′v−uv′v2=u′v−uv′v2= \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}

∎

Пример

Да намерим производната на f(x)=4x3−5x2+2x−7f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 7.

  1. (4x3)′=12x2(4x^3)' = 12x^2, (5x2)′=10x(5x^2)' = 10x, (2x)′=2(2x)' = 2, (7)′=0(7)' = 0
  2. f′(x)=12x2−10x+2f'(x) = 12x^2 - 10x + 2

Пример

Да намерим производната на f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^2 \sin x и на g(x)=xx+1g(x) = \frac{x}{x + 1}.

  1. f′(x)=(x2)′sin⁡x+x2(sin⁡x)′=2xsin⁡x+x2cos⁡xf'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x
  2. g′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}

4. Производна на сложна функция

Т

Верижно правило

Ако y=f(g(x))y = f(g(x)), то y′=f′(g(x))⋅g′(x)y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) – производната на „външната“ функция, пресметната във „вътрешната“, по производната на вътрешната.
Идея на доказателството
  1. Означаваме u=g(x)u = g(x). Когато xx се промени с Δx\Delta x, вътрешната функция се променя с Δu\Delta u, а външната – с Δy\Delta y.
  2. Ако Δu≠0\Delta u \ne 0, можем да запишем ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
  3. При Δx→0\Delta x \to 0 и Δu→0\Delta u \to 0 (защото gg е непрекъсната), първата дроб клони към f′(u)=f′(g(x))f'(u) = f'(g(x)), а втората – към g′(x)g'(x).
  4. Случаят, когато Δu=0\Delta u = 0 за произволно малки Δx\Delta x, иска допълнително внимание – строгото доказателство заобикаля деленето на Δu\Delta u, но идеята е същата: в записа на Лайбниц dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

∎

Пример

Да намерим производните на (3x+1)5(3x + 1)^5, sin⁡2x\sin 2x и ex2e^{x^2}.

  1. ((3x+1)5)′=5(3x+1)4⋅3=15(3x+1)4\left((3x + 1)^5\right)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4
  2. (sin⁡2x)′=cos⁡2x⋅2=2cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x
  3. (ex2)′=ex2⋅2x=2xex2\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}

5. Растене, намаляване и екстремуми

Т

Монотонност

Ако f′(x)>0f'(x) > 0 за всяко xx от интервал, функцията ff е растяща в него; ако f′(x)<0f'(x) < 0 – намаляваща.
Т

Екстремуми (Ферма)

Ако ff има най-голяма или най-малка стойност в околност на вътрешната точка x0x_0 (локален екстремум) и има производна там, то f′(x0)=0f'(x_0) = 0. Обратното не е вярно: при f(x)=x3f(x) = x^3 имаме f′(0)=0f'(0) = 0, но екстремум няма. Достатъчно е f′f' да смени знака: от ++ на −- – максимум, от −- на ++ – минимум.
Доказателство на теоремата на Ферма
  1. Нека в околност на x0x_0 стойността f(x0)f(x_0) е най-голямата (за минимум е аналогично). Тогава f(x0+h)−f(x0)≤0f(x_0 + h) - f(x_0) \le 0 за всички малки hh.
  2. При h>0h > 0 дробта f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} е ≤0\le 0, затова и границата ѝ е f′(x0)≤0f'(x_0) \le 0.
  3. При h<0h < 0 делим неположително число на отрицателно – дробта е ≥0\ge 0, затова f′(x0)≥0f'(x_0) \ge 0.
  4. И двете неравенства са верни едновременно само ако f′(x0)=0f'(x_0) = 0.

∎

Защо знакът на производната определя монотонността?
  1. Използваме теоремата на Лагранж (за крайните нараствания): ако ff има производна в интервала, за всеки x1<x2x_1 < x_2 от него има точка cc между тях, в която f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) Геометрично: някъде между двете точки допирателната е успоредна на секущата. Доказателството ѝ се основава на теоремата на Ферма.
  2. Ако f′>0f' > 0 в целия интервал, то f′(c)>0f'(c) > 0 и x2−x1>0x_2 - x_1 > 0, следователно f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1) – функцията расте. При f′<0f' < 0 се получава f(x2)<f(x1)f(x_2) < f(x_1).
  3. Критерият за екстремум: ако f′f' сменя знака от ++ на −- в x0x_0, функцията расте преди x0x_0 и намалява след нея, значи f(x0)f(x_0) е най-голямата стойност наоколо – максимум.
  4. Следствие: ако f′=0f' = 0 в целия интервал, то f(x2)=f(x1)f(x_2) = f(x_1) за всеки две точки – функцията е константа. Това ще ни трябва в урока „Интеграли“.

∎

f(x) = x³ − 3x

−2−112−2−1120xy

f′(x) = 3x² − 3

−2−112−2−1120xy

наклон на допирателната = f′(−2) = 9

f′ > 0 – функцията расте, графиката на f′ е над оста x.

💡 Премести точката отляво надясно и гледай как се чертае f′. Къде f има връх или дъно, f′ пресича оста x.

Пример

Да намерим интервалите на растене и намаляване и екстремумите на f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

  1. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1); f′(x)=0f'(x) = 0 при x=±1x = \pm 1
  2. f′>0f' > 0 при x<−1x < -1 и при x>1x > 1 – там ff расте; f′<0f' < 0 при −1<x<1-1 < x < 1 – там намалява
  3. Максимум при x=−1x = -1: f(−1)=2f(-1) = 2; минимум при x=1x = 1: f(1)=−2f(1) = -2

Познат пример: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c е при x=−b2ax = -\frac{b}{2a} – точно там, където y′=2ax+by' = 2ax + b става нула (виж Квадратни функции).

6. Задачи за най-голяма и най-малка стойност

Производните намират оптимума: най-голямото лице, най-малкия разход, най-голямата печалба. Схемата е винаги една: изразяваме величината като функция на една променлива, намираме къде производната е нула и проверяваме, че е максимум (или минимум), а също и стойностите в краищата на допустимия интервал.

Пример

С 60 m мрежа ограждаме правоъгълник до стена (откъм стената ограда не трябва). При какви размери лицето е най-голямо?

  1. Страните до стената са xx, третата е 60−2x60 - 2x, при 0<x<300 < x < 30.
  2. S(x)=x(60−2x)=60x−2x2S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2; S′(x)=60−4x=0⇒x=15S'(x) = 60 - 4x = 0 \Rightarrow x = 15
  3. S′S' сменя знака от ++ на −- ⇒ максимум: 15×3015 \times 30 m, S=450 m2S = 450\ \mathrm{m}^2
дъно 10 × 10xлист 12 × 12012345650100V(x)x
V = x(12 − 2x)² =100V′ = 12x² − 96x + 144 =60

V′ > 0: ако изрежеш малко повече, обемът ще порасне.

💡 От квадратен лист 12 × 12 изрязваме квадратчета със страна x в ъглите и сгъваме стените нагоре. При малко x кутията е плоска, при голямо – тясна.

7. Тренажор

Намери производната и замести. Дробните отговори въвеждай като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0
f(x)=x2−8x−4f(x) = x^2 - 8x - 4

При кое xx допирателната е хоризонтална?

8. Производните около нас

Скоростта е производна на пътя, а – на скоростта. Наклонът на пътя, растежът на население, пределната печалба в икономиката – всички те са производни. Със същата математика Нютон обяснява движението на планетите (виж урока за гравитацията).

0 / 6

🪨 Свободно падане

Камък пада свободно и за tt секунди изминава s(t)=4,9t2s(t) = 4{,}9t^2 метра. Каква е скоростта му в момента t=3 st = 3\ \mathrm{s}?

🏀 Най-високата точка

Топка е хвърлена нагоре и височината ѝ е h(t)=1,8+12t−5t2h(t) = 1{,}8 + 12t - 5t^2 метра. Колко е най-голямата височина?

🌾 Ограда до реката

Фермер има 40 m мрежа и иска да огради правоъгълна ливада до права река (откъм реката не трябва ограда). Колко е най-голямото лице, което може да огради?

🥫 Кутия за сок

Цилиндрична кутия трябва да побира 1 l=1000 cm31\ \mathrm{l} = 1000\ \mathrm{cm}^3. При какъв радиус ламарината за нея (повърхнината) е най-малко?

💶 Най-голяма печалба

Малка фирма изчислила, че при xx продадени броя на ден печалбата ѝ е P(x)=−0,5x2+40x−300P(x) = -0{,}5x^2 + 40x - 300 евро. Колко броя да продава и каква ще е печалбата?

📏 Наклон на пътя

Профилът на хълм е y=0,02x2y = 0{,}02x^2 (в метри), за xx от 0 до 20 m. Какъв е наклонът на пътя при x=15 mx = 15\ \mathrm{m} в проценти?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Производна на произведение

✗ (uv)′=u′v′\displaystyle (uv)' = u'v'

✓ (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)' = u'v + uv'

Степента не се намалява

✗ (x3)′=3x3\displaystyle (x^3)' = 3x^3

✓ (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)' = 3x^2

Забравено верижно правило

✗ (sin⁡2x)′=cos⁡2x\displaystyle (\sin 2x)' = \cos 2x

✓ (sin⁡2x)′=2cos⁡2x\displaystyle (\sin 2x)' = 2\cos 2x

Показателна като степенна

✗ (5x)′=x⋅5x−1\displaystyle (5^x)' = x \cdot 5^{x-1}

✓ (5x)′=5xln⁡5\displaystyle (5^x)' = 5^x \ln 5

f′(x0)=0\displaystyle f'(x_0) = 0 значи екстремум

✗ x3\displaystyle x^3 има екстремум в 0

✓ f′\displaystyle f' трябва и да смени знака

Производна на 1x\displaystyle \frac{1}{x}

✗ (1x)′=ln⁡x\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' = \ln x

✓ (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9
✓ 0

На колко е равно (x5)′\displaystyle (x^5)'?

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

12. Обобщение

  • ✓ f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} – моментната скорост на изменение
  • ✓ f′(x0)f'(x_0) е наклонът на допирателната: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
  • ✓ Таблицата се извежда по определението; правилата – като прибавим и извадим подходящ член; монотонността – от теоремата на Лагранж
  • ✓ (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (ex)′=ex(e^x)' = e^x, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
  • ✓ (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'; (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}; (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • ✓ f′>0f' > 0 – расте, f′<0f' < 0 – намалява; в екстремум f′=0f' = 0 и сменя знака
  • ✓ Оптимизация: функция на една променлива → f′=0f' = 0 → проверка за максимум/минимум и краищата

💡 Интересен факт

Днес производната се пише по три начина – и всеки е от различен математик. dydx\frac{dy}{dx} е на Лайбниц, точката отгоре (x˙\dot{x}) – на Нютон и още се използва във физиката за производна по времето, а щрихът f′(x)f'(x) – на Лагранж, който в края на XVIII век нарича новата функция „производна“ (на френски dérivée).