Матрици

1. Матрица – таблица от числа

🤔 Загадка: В урока Системи уравнения решението зависеше само от коефициентите пред $x$ и $y$ . Ако ги запишем в таблица, може ли да смятаме със самата таблица – да я събираме, умножаваме и дори „делим“?

О

Матрица

Матрица с размер

m \times n

е правоъгълна таблица от числа с

m

реда и

n

стълба. Елементът в ред

i

и стълб

j

се бележи

a_{ij}

. Матрица с еднакъв брой редове и стълбове се нарича квадратна. Две матрици са равни, ако са с еднакъв размер и съответните им елементи са равни.

Т

Събиране и умножение с число

Матрици с еднакъв размер се събират елемент по елемент:

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

. При умножение с число

k

всеки елемент се умножава по

k

:

(kA)_{ij} = k\,a_{ij}

. Тези действия имат обичайните свойства – например

A + B = B + A

и

k(A + B) = kA + kB

.

Пример

Да пресметнем $A + B$ и $3A$ за $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ .

$A + B = \begin{pmatrix} 2 + 1 & -1 + 4 \\ 0 + (-2) & 3 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$
$3A = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

2. Матрицата като трансформация на равнината

Матрица $2 \times 2$ може да „подейства“ на точка (вектор) $(x;\ y)$ : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$ . Всяка координата на образа е „ред по стълб“: първият ред по $(x;\ y)$ дава новото $x$ , вторият – новото $y$ .

Т

Стълбовете са образите на базисните вектори

Векторът

e_1 = (1;\ 0)

отива в първия стълб

(a;\ c)

, а

e_2 = (0;\ 1)

– във втория

(b;\ d)

. Тъй като

(x;\ y) = x e_1 + y e_2

, образът е

x \cdot (a;\ c) + y \cdot (b;\ d)

. Правите отиват в прави, успоредните – в успоредни, а началото остава на място.

Затова е лесно да напишем матрицата на позната трансформация – достатъчно е да видим къде отиват $e_1$ и $e_2$ (виж Вектори и Тригонометрия):

Завъртане на ъгъл

\varphi

\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}

Отражение в оста

Ox

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Разтягане

k

пъти по

x

и

l

пъти по

y

\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}

Хлъзгане (наклоняване)

\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

стълб 1 =(1; 0)стълб 2 =(1; 1)det =1

Хлъзгане: всяка хоризонтална линия се измества с толкова, колкото е височината ѝ. Лицето не се променя.

💡 Влачи краищата на синия вектор (образа на e₁) и червения (образа на e₂). Те са стълбовете на матрицата и определят къде отива всяка друга точка: (x; y) → x · (стълб 1) + y · (стълб 2). Сивата мрежа е образът на квадратната мрежа.

3. Умножение на матрици

Ако първо приложим трансформацията $B$ , а след това $A$ , пак получаваме трансформация, която праща прави в прави. Нейната матрица наричаме произведение $AB$ – и тя се смята „ред по стълб“.

О

Произведение на матрици

Ако

A

е с размер

m \times n

, а

B

–

n \times p

, произведението

C = AB

е с размер

m \times p

и

c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}

– ред

i

на

A

по стълб

j

на

B

. Броят на стълбовете на

A

трябва да е равен на броя на редовете на

B

.

A =

1234

B =

201−1

AB =

????

c₁₁ = ред 1 · стълб 1 = 1·2 + 2·1 = 4

💡 Елементът в ред i и стълб j на произведението е „ред i на първата матрица по стълб j на втората“: умножаваме съответните числа и ги събираме. Натисни „Размени“, за да сравниш AB и BA.

Т

Свойства на умножението

Умножението е асоциативно:

(AB)C = A(BC)

, и разпределително:

A(B + C) = AB + AC

. Единичната матрица

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

играе ролята на числото 1:

AE = EA = A

. Но в общия случай

AB \ne BA

– редът на трансформациите има значение.

Пример

Да пресметнем $AB$ и $BA$ за $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

$AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$
$BA = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + 4 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$
$AB \ne BA$

4. Детерминанта: колко пъти се променя лицето

Числото $D = ad - bc$ от правилото на (виж Системи уравнения) е детерминантата на матрицата $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ и се записва с прави черти: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ . Тя има ясен геометричен смисъл.

Т

Геометричен смисъл на детерминантата

Образът на единичния квадрат е успоредникът със страни

(a;\ c)

и

(b;\ d)

, а лицето му е

|ad - bc|

. Затова трансформацията умножава лицето на всяка фигура по

|\det A|

. Ако

\det A < 0

, ориентацията се обръща (като в огледало), а при

\det A = 0

равнината се смачква в права или точка.

u =(3; 1)v =(1; 2)det =3·2 − 1·1 = 5

Лицето на успоредника е |det| = 5. Ориентацията се запазва.

💡 Влачи краищата на двата стълба u = (a; c) и v = (b; d) на матрицата. Образът на единичния квадрат е успоредникът със страни u и v, а лицето му е |ad − bc|. Знакът на детерминантата казва дали от u към v се завърта обратно на часовниковата стрелка (+) или по нея (−).

Т

Свойства

\det(AB) = \det A \cdot \det B

– лицата се умножават последователно.

\det E = 1

. Ако разменим два реда (или два стълба), детерминантата сменя знака си. Ако един ред е кратен на друг, детерминантата е 0. За матрица

2 \times 2

:

\det(kA) = k^2 \det A

.

О

Детерминанта 3 × 3 (правило на Сарус)

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

. Модулът ѝ е обемът на паралелепипеда, построен върху стълбовете.

Пример

Да пресметнем $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$ .

С плюс – главният диагонал и двата „триъгълника“ успоредно на него: $2 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 2 = 4$
С минус – другият диагонал и неговите „триъгълници“: $3 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 = 13$
Детерминантата е $4 - 13 = -9$

5. Обратна матрица

Обратната трансформация връща всяка точка обратно. Ако $A$ смачква равнината в права ( $\det A = 0$ ), различни точки отиват в една и съща – и няма как да разберем откъде са дошли. Иначе обратна трансформация има.

Т

Обратна матрица 2 × 2

Матрицата

A^{-1}

е обратна на

A

, ако

AA^{-1} = A^{-1}A = E

. Обратна има точно когато

\det A \ne 0

, и тогава

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

– разменяме

a

и

d

, сменяме знаците на

b

и

c

и делим на детерминантата. Освен това

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

.

Пример

Да намерим обратната на $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ .

$\det A = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10 \ne 0$ – обратна има
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
Проверка на първия елемент на $AA^{-1}$ : $4 \cdot 0{,}6 + 7 \cdot (-0{,}2) = 2{,}4 - 1{,}4 = 1$ ✓

6. Системи уравнения в матричен вид

Системата $a_1x + b_1y = c_1,\ a_2x + b_2y = c_2$ е просто едно матрично уравнение $AX = B$ , където $A$ е матрицата на коефициентите, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , а $B$ е стълбът на десните страни. Ако $\det A \ne 0$ , умножаваме отляво по $A^{-1}$ : $X = A^{-1}B$ . Като разпишем, получаваме точно правилото на Крамер.

Пример

Да решим $3x + 2y = 7,\ x + 4y = 9$ с обратна матрица.

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ , $\det A = 12 - 2 = 10$ , $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
$X = A^{-1}\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 28 - 18 \\ -7 + 27 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Отговор: $x = 1$ , $y = 2$ . Проверка: $3 + 4 = 7$ ✓; $1 + 8 = 9$ ✓

За големи системи (с хиляди неизвестни) компютрите не смятат детерминанти, а изключват неизвестните едно по едно по редовете на таблицата – метод на Гаус. Това е същата идея като в „Девет глави“, само че с много повече числа.

7. Тренажор

Произведения, детерминанти, обратни матрици и системи. Дробните отговори въвеждай като 3/2, отрицателните – с минус.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -13 \end{pmatrix}

Колко е $x$ ?

8. Матриците около нас

Компютърната графика описва завъртания, мащабиране и перспектива с матрици. Таблиците с вероятности за преход от едно състояние в друго (вериги на Марков) се използват в прогнози за времето, в прости модели на езика и при подреждането на уеб страници в търсачките. Степените на матрицата $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ дават числата на Фибоначи (виж Прогресии), а обратимите матрици – прости шифри.

0 / 6

🎮 Завъртане в игра

В компютърна игра героят стои в точката $(4;\ 2)$ , а камерата завърта света на 90° обратно на часовниковата стрелка около началото с матрицата $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Къде ще се окаже героят?

🛒 Сметки за два класа

Клас А купува 5 тетрадки и 10 химикалки, клас Б – 8 тетрадки и 4 химикалки. Тетрадката струва 2,50 €, химикалката – 1,20 €. Запишете покупките като матрица, умножете по стълба с цените и намерете сметката на всеки клас.

🌦️ Времето утре и вдругиден

Прост модел: след слънчев ден следва слънчев с вероятност 0,8 и дъждовен с 0,2; след дъждовен – слънчев с 0,4 и дъждовен с 0,6. Днес е слънчево. С каква вероятност ще е слънчево вдругиден? Към какво число клони тази вероятност след много дни?

🐇 Фибоначи с матрица

Числата на Фибоначи (1, 1, 2, 3, 5, …) се получават от степените на $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $M^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ . Намерете $F_{10}$ и пресметнете $\det M^{10} = F_{11}F_9 - F_{10}^2$ .

🔐 Шифър на Хил

Двойка букви се кодира като двойка числа и се умножава по $K = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Получено е съобщението $(19;\ 8)$ . Разшифровайте го с обратната матрица.

🦌 Популация по възрасти

В модел на популация млади ( $M$ ) и възрастни ( $V$ ) животни се менят всяка година така: новите млади са $2V$ , а възрастните са $0{,}5M + 0{,}8V$ . В началото има 100 млади и 50 възрастни. Колко ще са след две години?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Умножение елемент по елемент

✗ $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & bf \\ cg & dh \end{pmatrix}$

✓ ред по стълб: $\displaystyle c_{11} = ae + bg$

Разместване на множителите

✗ $\displaystyle AB = BA$

✓ в общия случай $\displaystyle AB \ne BA$

Детерминанта на сбор

✗ $\displaystyle \det(A + B) = \det A + \det B$

✓ $\displaystyle \det(AB) = \det A \cdot \det B$

Детерминанта на $\displaystyle 2A$

✗ $\displaystyle \det(2A) = 2\det A$

✓ за $\displaystyle 2 \times 2$ : $\displaystyle \det(2A) = 4\det A$

Обратна матрица

✗ $\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{1}{b} \\ \frac{1}{c} & \frac{1}{d} \end{pmatrix}$

✓ $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Обратна на произведение

✗ $\displaystyle (AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$

✓ $\displaystyle (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Матрицата $\displaystyle A$ е с размер $\displaystyle 2 \times 3$ , а $\displaystyle B$ – $\displaystyle 3 \times 4$ . Какъв е размерът на $\displaystyle AB$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Матрицата е таблица $m \times n$ ; събираме елемент по елемент, умножаваме с число – всеки елемент
✓ Матрицата $2 \times 2$ е трансформация на равнината; стълбовете ѝ са образите на $e_1$ и $e_2$
✓ $AB$ – „ред по стълб“; това е последователното прилагане на $B$ и $A$ ; в общия случай $AB \ne BA$
✓ $\det A = ad - bc$ – коефициентът, с който се умножават лицата (знакът – ориентацията); $\det(AB) = \det A \cdot \det B$
✓ $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ , съществува точно при $\det A \ne 0$
✓ Системата $AX = B$ има решение $X = A^{-1}B$ – правилото на Крамер в матричен вид

💡 Интересен факт

Детерминантите се появяват преди матриците: японският математик Секи Такакадзу и Лайбниц стигат до тях независимо един от друг в края на XVII век, докато решават системи уравнения. Самите матрици като самостоятелни обекти, с които се смята, идват повече от 150 години по-късно – при Кейли. А днес умножението на огромни матрици е основната операция, която изпълняват видеокартите – и в графиката, и в изкуствения интелект.

1. Матрица – таблица от числа

Матрица

Събиране и умножение с число

Пример

2. Матрицата като трансформация на равнината

Стълбовете са образите на базисните вектори

3. Умножение на матрици

Произведение на матрици

Свойства на умножението

Пример

4. Детерминанта: колко пъти се променя лицето

Геометричен смисъл на детерминантата

Свойства

Детерминанта 3 × 3 (правило на Сарус)

Пример

5. Обратна матрица

Обратна матрица 2 × 2

Пример

6. Системи уравнения в матричен вид

Пример

7. Тренажор

8. Матриците около нас

9. ⚠️ Чести грешки

10. 🎯 Бърз тест

Матрицата A\displaystyle AA е с размер 2×3\displaystyle 2 \times 32×3, а B\displaystyle BB – 3×4\displaystyle 3 \times 43×4. Какъв е размерът на AB\displaystyle ABAB?

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

Матрицата $\displaystyle A$ е с размер $\displaystyle 2 \times 3$ , а $\displaystyle B$ – $\displaystyle 3 \times 4$ . Какъв е размерът на $\displaystyle AB$ ?