Вектори

1. Какво е вектор?

🤔 Загадка: „Отидох 5 km и се върнах 5 km. Колко съм изминал?“ – 10 km. „А на какво разстояние съм от началото?“ – 0 km. Изминатият път е число, а преместването е вектор: двете премествания са равни по дължина, но противоположни по посока, и се унищожават.

О

Вектор

Вектор е насочена отсечка – отсечка, за която е казано коя точка е начало и коя край. Записваме

AB

(

A

е начало,

B

е край) или с една малка буква,

a

. Дължината на вектора се бележи

|AB|

. Два вектора са равни, ако имат еднаква дължина и еднаква посока – тогава единият се получава от другия чрез успоредно пренасяне. Нулевият вектор има начало и край в една точка.

Векторите $AB$ и $BA$ имат еднаква дължина, но противоположни посоки: $BA = -AB$ . Ненулеви вектори, които лежат на успоредни прави (или на една права), се наричат колинеарни.

2. Събиране и изваждане

Т

Правило на триъгълника и на успоредника

Правило на триъгълника:

AB + BC = AC

– краят на първия вектор е начало на втория. Правило на успоредника: ако

a = AB

и

b = AD

са страни на успоредника

ABCD

, то

a + b = AC

(диагоналът), а

b - a = BD

. Събирането е разместително и съдружително;

a - b = a + (-b)

.

Доказателство

Правилото на триъгълника е самото определение на сбора: първо се преместваме от $A$ до $B$ , после от $B$ до $C$ – общото преместване е от $A$ до $C$ .
Успоредник: в $ABCD$ срещуположните страни $AD$ и $BC$ са равни и успоредни, и векторите $AD$ и $BC$ са еднопосочни – значи са равни. Тогава $a + b = AB + AD = AB + BC = AC$ .
Разлика: от правилото на триъгълника $AB + BD = AD$ , затова $BD = AD - AB = b - a$ .
Разместителност: $a + b = AB + BC = AC$ , а $b + a = AD + DC = AC$ (защото $AD = BC = b$ и $DC = AB = a$ ). Съдружителност: $(AB + BC) + CD = AC + CD = AD$ и $AB + (BC + CD) = AB + BD = AD$ .

∎

a + b = (4; 1) + (1; 3) = (5; 4)

Слагаме началото на b в края на a; сборът е от началото на a до края на b.

|a| = 4,12, |b| = 3,16, |a + b| = 6,4

💡 Влачи краищата на векторите a и b. Координатите на сбора са сборовете на координатите: събирането „поставя“ b в края на a.

Пример

$ABCD$ е успоредник, $AB = a$ , $AD = b$ . Да изразим $AC$ , $BD$ и $CA$ чрез $a$ и $b$ .

$AC = AB + BC = a + b$ ( $BC = AD$ , защото са равни и еднопосочни)
$BD = BA + AD = -a + b = b - a$
$CA = -AC = -a - b$

3. Умножение с число

О

Произведение на вектор с число

k \cdot a

е вектор, колинеарен на

a

, с дължина

|k| \cdot |a|

; при

k > 0

е еднопосочен с

a

, при

k < 0

– противопосочен. Обратно: ако

a \ne 0

и

b

е колинеарен на

a

, то

b = k \cdot a

за някое число

k

.

Това дава удобен запис на познати факти. Ако $M$ е средата на $AB$ , то за всяка точка $O$ : $OM = \frac{OA + OB}{2}$ . $MN$ в триъгълник $ABC$ удовлетворява $MN = \tfrac{1}{2} BC$ – едновременно казва, че е успоредна и два пъти по-къса. Нещо повече: всеки вектор в равнината се изразява по единствен начин чрез два неколинеарни вектора.

Т

Разлагане на вектор

Ако

a

и

b

са неколинеарни, всеки вектор

c

от равнината може да се запише по единствен начин като

c = x \cdot a + y \cdot b

. Числата

x

и

y

се намират от система от две линейни уравнения.

Доказателство на разлагането

Съществуване: нанасяме $a$ , $b$ и $c$ с общо начало $O$ , като $c = OC$ . През $C$ прекарваме прави, успоредни на $a$ и на $b$ ; те пресичат правите на $b$ и на $a$ в точките $B_1$ и $A_1$ . Получаваме успоредник $OA_1CB_1$ и $c = OA_1 + OB_1$ .
$OA_1$ лежи на правата на $a$ , значи е колинеарен с $a$ (или е нулев) и $OA_1 = x \cdot a$ за някое число $x$ . По същия начин $OB_1 = y \cdot b$ . Следователно $c = x \cdot a + y \cdot b$ . (Ако $c$ е колинеарен с $a$ , просто $y = 0$ .)
Единственост: ако $x \cdot a + y \cdot b = x_1 \cdot a + y_1 \cdot b$ , то $(x - x_1) \cdot a = (y_1 - y) \cdot b$ . Ако $x \ne x_1$ , бихме получили $a = \frac{y_1 - y}{x - x_1} \cdot b$ , т.е. $a$ и $b$ колинеарни – противоречие. Значи $x = x_1$ , а оттам и $y = y_1$ .

∎

(3; 4) = x · (2; 1) + y · (−1; 2)

2x − y = 3; x + 2y = 4

x = 2, y = 1 ⇒ c = 2a + b

💡 Влачи c (зелено), а също a и b. През края на c прекарваме прави, успоредни на a и b – така се получава успоредник, чиито страни са x·a и y·b.

Обърни внимание: намирането на $x$ и $y$ е точно система уравнения, а условието $a$ и $b$ да не са колинеарни е условието ѝ да не е 0.

4. Координати на вектор

Т

Действия в координати

Ако

A(x_1;\ y_1)

и

B(x_2;\ y_2)

, то

AB = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)

– „край минус начало“. За

a = (a_1;\ a_2)

и

b = (b_1;\ b_2)

:

a + b = (a_1 + b_1;\ a_2 + b_2)

,

k \cdot a = (k \cdot a_1;\ k \cdot a_2)

,

|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

. Средата на

AB

е

M(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2})

.

Доказателство

Нека $i$ и $j$ са единичните вектори по осите. Координатите $(a_1;\ a_2)$ на вектора $a$ означават точно разлагането $a = a_1 \cdot i + a_2 \cdot j$ – то е единствено по теоремата за разлагане.
Сбор и умножение с число: $a + b = (a_1 + b_1) \cdot i + (a_2 + b_2) \cdot j$ – просто групираме събираемите пред $i$ и пред $j$ . Аналогично $k \cdot a = (ka_1) \cdot i + (ka_2) \cdot j$ .
„Край минус начало“: $AB = OB - OA$ , а координатите на $OA$ и $OB$ са координатите на точките $A$ и $B$ .
Дължина: $a$ е хипотенуза на правоъгълен триъгълник с катети $|a_1|$ и $|a_2|$ , затова по Питагоровата теорема $|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ .
Среда: $OM = OA + AM = OA + \frac{1}{2}AB = OA + \frac{1}{2}(OB - OA) = \frac{OA + OB}{2}$ ; в координати това е $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ .

∎

Пример

$A(1;\ 2)$ и $B(4;\ 6)$ . Да намерим $AB$ , дължината му и средата $M$ на $AB$ .

$AB = (4 - 1;\ 6 - 2) = (3;\ 4)$
$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
$M(\frac{1 + 4}{2};\ \frac{2 + 6}{2}) = M(2{,}5;\ 4)$

Пример

При кое $k$ векторите $a = (2;\ k)$ и $b = (3;\ 6)$ са колинеарни?

Колинеарни ⇔ координатите са пропорционални: $\frac{2}{3} = \frac{k}{6}$
$k = 4$ (тогава $b = 1{,}5 \cdot a$ )

5. Скаларно произведение

О

Скаларно произведение

Скаларното произведение на векторите

a

и

b

е числото

a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \varphi

, където

\varphi

е ъгълът между тях. В координати:

a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2

. Следствия:

a \cdot a = |a|^2

;

a \perp b \iff a \cdot b = 0

;

\cos \varphi = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}

.

Доказателство на формулата в координати

Нанасяме $a$ и $b$ от обща точка $O$ : $a = OA$ , $b = OB$ . Тогава $a - b = BA$ и в триъгълника $OAB$ ъгълът при $O$ е $\varphi$ . По косинусовата теорема $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a| \cdot |b| \cdot \cos \varphi$
Същото в координати: $|a - b|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2$ $= (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2(a_1b_1 + a_2b_2)$ $= |a|^2 + |b|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2)$
Сравняваме двата израза и получаваме $|a| \cdot |b| \cdot \cos \varphi = a_1b_1 + a_2b_2$ . (Ако $a$ и $b$ са колинеарни, триъгълник няма, но равенството се проверява направо.)
Следствия: $a \cdot a = |a|^2 \cos 0^\circ = |a|^2$ . За ненулеви вектори $a \cdot b = 0 \iff \cos \varphi = 0 \iff \varphi = 90^\circ$ .
Абзацът по-долу върви в обратна посока: ако приемем формулата в координати за известна, от нея следва косинусовата теорема. Двата факта са равносилни.

∎

a =(5; 1)b =(2; 4)φ ≈52,1°

a · b = 5 · 2 + 1 · 4 = 14

|a| · |b| · cos φ = 5,1 · 4,47 · 0,614 = 14

a · b > 0 ⇒ ъгълът е остър

💡 Скаларното произведение е число, а не вектор. То е |a| по проекцията на b върху a (със знак) – положително при остър ъгъл, нула при прав и отрицателно при тъп.

Пример

Да намерим ъгъла между $a = (1;\ 2)$ и $b = (3;\ 1)$ .

$a \cdot b = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5$
$|a| = \sqrt{5},\ |b| = \sqrt{10}$
$\cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\varphi = 45^\circ$

Двете формули за скаларното произведение свързват координатите с тригонометрията. Например от $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 a \cdot b$ веднага следва .

6. Тренажор

Пресметни координатите на линейната комбинация.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

a = (2; −4), b = (−2; 3). Намери −2a − 3b.

(;)

7. Задачи от живота

Във физиката почти всичко е вектор: скорост, сила, преместване, . Те се събират по правилото на успоредника.

0 / 6

✈️ Самолет и вятър

Самолет лети спрямо въздуха на север със скорост $200\ \mathrm{km/h}$ , а вятърът духа на изток с $50\ \mathrm{km/h}$ . С каква скорост се движи самолетът спрямо земята?

🚣 Лодка през река

Лодка се движи перпендикулярно на брега с $4\ \mathrm{m/s}$ спрямо водата, а течението е $3\ \mathrm{m/s}$ . Реката е широка $100\ \mathrm{m}$ . За колко време лодката ще стигне другия бряг и на колко метра надолу по течението ще я отнесе?

🪢 Две сили

Две момчета дърпат шейна с въжета под прав ъгъл едно спрямо друго – с 30 N и 40 N. Каква е големината на равнодействащата сила?

🛷 Работа

Шейна се тегли 20 m по хоризонтален път с въже под ъгъл 60° спрямо пътя и сила 50 N. Каква работа извършва силата? (Работата е скаларното произведение на силата и преместването.)

🥾 Разходка

Туристка върви 3 km на изток, после 4 km на север и накрая 1 km на запад. На какво разстояние (по права линия) е от началната точка?

⚓ Котва

Две въжета държат котва със сили по 10 N, които сключват ъгъл 60°. Колко е големината на общата сила?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Начало минус край

✗ $\displaystyle A(1;\ 2),\ B(4;\ 6) \Rightarrow AB = (-3;\ -4)$

✓ $\displaystyle AB = B - A = (3;\ 4)$

Дължината на сбора

✗ $\displaystyle |a + b| = |a| + |b|$

✓ само при еднопосочни вектори; иначе $\displaystyle |a + b| < |a| + |b|$

Скаларното произведение е вектор

✗ $\displaystyle (1;\ 2) \cdot (3;\ -1) = (3;\ -2)$

✓ $\displaystyle (1;\ 2) \cdot (3;\ -1) = 3 - 2 = 1$ (число!)

Неверен ред на буквите

✗ $\displaystyle AB + CB = AC$

✓ $\displaystyle AB + BC = AC$ ; $\displaystyle CB = -BC$

Колинеарност по една координата

✗ $\displaystyle (2;\ 4)$ и $\displaystyle (2;\ 5)$ – колинеарни, защото $\displaystyle 2 = 2$

✓ $\displaystyle \frac{2}{2} \ne \frac{4}{5} \Rightarrow$ не са колинеарни

Квадрат на сбор

✗ $\displaystyle |a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2$

✓ $\displaystyle |a + b|^2 = |a|^2 + 2 a \cdot b + |b|^2$

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle AB + BC$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Векторът има големина и посока; равни вектори – еднаква дължина и посока
✓ $AB + BC = AC$ ; при успоредник сборът е диагоналът
✓ $k \cdot a$ е колинеарен на $a$ ; всеки вектор се разлага по два неколинеарни: $c = xa + yb$
✓ $AB = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$ ; $|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ ; средата на $AB$ : $OM = \frac{OA + OB}{2}$
✓ $a \cdot b = |a||b| \cos \varphi = a_1b_1 + a_2b_2$ ; $a \perp b \iff a \cdot b = 0$
✓ Разлагането се доказва с успоредник; координатите са коефициентите пред $i$ и $j$ ; скаларното произведение в координати – от косинусовата теорема
✓ : $GA + GB + GC = 0$

💡 Интересен факт

Думата „вектор“ идва от латинското vehere – „нося, возя“; vector е „носител“. В математиката я въвежда ирландецът Уилям Роуън Хамилтън. На 16 октомври 1843 г., докато се разхожда покрай канал в Дъблин, той открива как да умножава „тримерни числа“ (кватерниони) и издълбава формулата $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ в камъка на мост. Надписът отдавна не се вижда, но на моста днес има паметна плоча, а математици всяка година повтарят разходката му.

1. Какво е вектор?

Вектор

2. Събиране и изваждане

Правило на триъгълника и на успоредника

Пример

3. Умножение с число

Произведение на вектор с число

Разлагане на вектор

4. Координати на вектор

Действия в координати

Пример

Пример

5. Скаларно произведение

Скаларно произведение

Пример

6. Тренажор

7. Задачи от живота

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

На колко е равно AB+BC\displaystyle AB + BCAB+BC?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

На колко е равно $\displaystyle AB + BC$ ?