Неравенства

1. Неравенства и интервали

🤔 Загадка: На табела пише „Деца под 12 години – безплатно“. Има ли право на безплатен билет дете, което днес навършва 12? А дете на 11 години и 364 дни? Разликата между $x < 12$ и $x \le 12$ е точно една точка – но понякога точно тя е важна.

О

Неравенство и решение

Неравенство с едно неизвестно е запис от вида

A(x) < B(x)

(или с ≤, >, ≥). Негово решение е всяко число, което превръща неравенството във вярно числово неравенство. За разлика от уравненията, решенията обикновено са безброй много и образуват интервали от числовата ос.

Неравенство	Интервал	На оста
$2 < x < 5$	$(2;\ 5)$	двата края – празни точки
$2 \le x \le 5$	$[2;\ 5]$	двата края – плътни точки
$2 \le x < 5$	$[2;\ 5)$	плътна при 2, празна при 5
$x > 2$	$(2;\ +\infty)$	лъч надясно
$x \le 5$	$(-\infty ;\ 5]$	лъч наляво

Кръглата скоба означава, че краят не принадлежи на интервала, квадратната – че принадлежи. При ∞ скобата винаги е кръгла: безкрайността не е число.

2. Свойства на неравенствата

С неравенствата работим почти като с уравненията – с една важна разлика. Например $2 < 5$ , но след умножение по −1 получаваме −2 и −5, а $-2 > -5$ : числата си размениха местата на оста, защото умножението по −1 е огледално отражение спрямо нулата.

Т

Равносилни преобразувания на неравенства

Неравенството не променя решенията си, ако: 1) към двете страни прибавим (или извадим) едно и също число или израз; 2) умножим (или разделим) двете страни на едно и също положително число; 3) умножим (или разделим) двете страни на едно и също отрицателно число и обърнем знака на неравенството (< става >, ≤ става ≥).

Доказателство

Всичко следва от едно наблюдение: $a < b$ означава, че разликата $b - a$ е положителна.
Прибавяне: $(b + c) - (a + c) = b - a > 0$ , следователно $a + c < b + c$ – разликата изобщо не се променя.
Умножение по $c > 0$ : $bc - ac = c(b - a)$ е произведение на две положителни числа, значи е положително и $ac < bc$ .
Умножение по $c < 0$ : $c(b - a)$ е произведение на отрицателно и положително число – отрицателно. Значи $bc - ac < 0$ , т.е. $ac > bc$ – знакът се обръща.
Защо решенията не се променят: всяко от тези действия може да се отмени с действие от същия вид (изваждаме $c$ , умножаваме по $\frac{1}{c}$ , което има същия знак като $c$ ). Всяко решение на новото неравенство е решение и на старото, и обратно.

∎

3. Линейни неравенства

Алгоритъмът е същият като при – скоби, , прехвърляне, привеждане. Внимаваме само на последната стъпка: ако делим на отрицателно число, обръщаме знака.

Пример

Таксито от началото: кога първата фирма е по-изгодна? Нека $x$ е разстоянието в km.

Цената при първата фирма: $2 + 1{,}2x$ ; при втората: $4 + 0{,}9x$
Търсим кога първата е по-евтина: $2 + 1{,}2x < 4 + 0{,}9x$
Прехвърляме: $1{,}2x - 0{,}9x < 4 - 2 \Rightarrow 0{,}3x < 2$
Делим на $0{,}3 > 0$ (знакът се запазва): $x < 6{,}67$ (по-точно $x < \frac{20}{3}$ )
Отговор: за пътувания под около 6,7 km е по-изгодна първата фирма, за по-дълги – втората

Пример

Да решим неравенството $3 - 2(x + 1) \ge x - 8$

Разкриваме скобите: $3 - 2x - 2 \ge x - 8$
Привеждаме: $1 - 2x \ge x - 8$
Прехвърляме: $-2x - x \ge -8 - 1 \Rightarrow -3x \ge -9$
Делим на $-3 < 0$ и обръщаме знака: $x \le 3$
Отговор: $x \in (-\infty ;\ 3]$

📏 Неравенство на числовата ос

Направи коефициента a отрицателен и виж кога знакът се обръща. С пробната точка провери кои числа наистина са решения.

−2x + 1 < −5

a−2b1c−5проба x0

−2x < −5 − 1 = −6

Делим на (−2): a < 0 ⇒ знакът се обръща: x > 3

Отговор: x ∈ (3; +∞)

Проба: x = 0 ⇒ 1 < −5 е невярно ✗

4. Системи и двойни неравенства

Система от неравенства изисква всички да са изпълнени едновременно – решението е сечението на решенията им (общата част на оста). Двойното неравенство $a < f(x) < b$ е съкратен запис на системата $f(x) > a$ и $f(x) < b$ .

Обща част – интервал

$x > 1$ и $x \le 4 \to (1;\ 4]$

Едното съдържа другото

$x > 1$ и $x > 4 \to (4;\ +\infty)$

Нямат обща част

$x < 1$ и $x > 4 \to$ няма решение

Пример

Да решим двойното неравенство $-3 \le 2x + 1 < 7$

Изваждаме 1 от трите части: $-4 \le 2x < 6$
Делим трите части на $2 > 0$ : $-2 \le x < 3$
Отговор: $x \in [-2;\ 3)$ ; целите решения са $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$

5. Метод на интервалите

Как да решим $(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0$ ? Не бива да „делим на множителите“ – не знаем знака им. Вместо това следим знака на целия израз. Квадратните неравенства вече решавахме с в урока Квадратни функции; методът на интервалите е обобщението за произведения и частни с много множители.

Т

Метод на интервалите

1) Прехвърляме всичко от едната страна, за да сравняваме с 0. 2) Разлагаме на множители от вида

(x - r)

и намираме нулите на числителя и знаменателя. 3) Те делят оста на интервали, във всеки от които знакът е постоянен. 4) Определяме знака в най-десния интервал и вървим наляво: при преминаване през точка с нечетна степен знакът се сменя, с четна – не. 5) Избираме интервалите с нужния знак; нулите на числителя включваме при ≤ и ≥, нулите на знаменателя – никога.

Пример

Да решим неравенството $\frac{x + 1}{x - 2} \ge 2$

Сравняваме с 0: $\frac{x + 1}{x - 2} - 2 \ge 0 \Rightarrow \frac{x + 1 - 2x + 4}{x - 2} \ge 0 \Rightarrow \frac{5 - x}{x - 2} \ge 0$
Умножаваме по −1 и обръщаме знака: $\frac{x - 5}{x - 2} \le 0$
Критични точки: 2 (знаменател) и 5 (числител). Знаци: + за $x > 5$ , − между 2 и 5, + за $x < 2$
Търсим $\le 0$ : средният интервал, с 5 (нула на числителя), но без 2 (нула на знаменателя)
Отговор: $x \in (2;\ 5]$

Защо методът на интервалите работи?

Множителят $x - r$ е положителен при $x > r$ и отрицателен при $x < r$ – сменя знака си само в точката $r$ .
Знакът на произведение (или частно) се определя от знаците на множителите: той е $-$ точно когато отрицателните множители са нечетен брой. Между две съседни критични точки никой множител не сменя знака си, затова и знакът на целия израз е постоянен.
В най-десния интервал $x$ е по-голямо от всички критични точки и всички множители $x - r$ са положителни – знакът е $+$ (ако сме внимавали коефициентите пред $x$ да са положителни).
Когато минем наляво през точката $r$ , сменя знака си само множителят $(x - r)^k$ . При нечетно $k$ той сменя знака, а при четно $k$ остава неотрицателен – оттам и правилото за четните и нечетните степени.
Нулите на знаменателя никога не влизат в отговора, защото там изразът не е дефиниран.

∎

🐍 Метод на интервалите

Нулите на числителя и знаменателя делят оста на интервали. Във всеки интервал знакът е постоянен – „змийката“ минава над оста при „+“ и под нея при „−“.

(x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0

Критични точки: −2, 1, 3. Вдясно от най-голямата всички множители са положителни ⇒ знак „+“.

При нечетна степен знакът се сменя при преминаване през точката, при четна степен – не се сменя.

Отговор: x ∈ (−2; 1) ∪ (3; +∞)

6. Неравенства с модул

Т

Модулът като разстояние

За

r > 0

:

|x - a| < r \iff a - r < x < a + r

(точките по-близо от

r

до

a

);

|x - a| > r \iff x < a - r

или

x > a + r

(точките по-далеч от

r

). При ≤ и ≥ краищата се включват. Ако

r < 0

,

|x - a| < r

няма решение, а

|x - a| > r

е вярно за всяко

x

.

Доказателство

Нека $y = x - a$ . Достатъчно е да докажем, че при $r > 0$ : $|y| < r \iff -r < y < r$ .
Ако $y \ge 0$ , то $|y| = y$ и условието е $y < r$ ; заедно с $y \ge 0$ това е $0 \le y < r$ .
Ако $y < 0$ , то $|y| = -y$ и условието е $-y < r$ , т.е. $y > -r$ ; заедно с $y < 0$ това е $-r < y < 0$ .
Обединението на двата случая е $-r < y < r$ , т.е. $a - r < x < a + r$ . Неравенството $|x - a| > r$ е вярно точно когато $|x - a| < r$ и $|x - a| = r$ не са – това са двата лъча извън интервала $[a - r;\ a + r]$ .
Ако $r < 0$ : модулът е неотрицателен, следователно никога не е по-малък от $r$ и винаги е по-голям от него.

∎

📐 Модулът като разстояние

|x − a| е разстоянието от x до a. Неравенството пита: кои точки са на разстояние по-малко от r от a?

|x − 1| < 3

a1r3

−2 < x < 4

x ∈ (−2; 4)

Пример

Да решим неравенството $|2x - 3| \le 5$

Записваме като двойно неравенство: $-5 \le 2x - 3 \le 5$
Прибавяме 3: $-2 \le 2x \le 8$
Делим на 2: $-1 \le x \le 4$
Отговор: $x \in [-1;\ 4]$

7. Доказване на неравенства

На олимпиадите често не решаваме неравенство, а доказваме, че то е вярно за всички допустими стойности. Основният инструмент е простият факт, че квадратът на число никога не е отрицателен: $(a - b)^2 \ge 0$ .

Т

Неравенство между средно аритметично и средно геометрично

За неотрицателни числа

a

и

b

:

\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}

, като равенство има само при

a = b

.

Доказателство

Квадратът на всяко реално число е неотрицателен: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ .
Разкриваме скобите: $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ , т.е. $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ , и делим на 2.
Равенство има точно когато $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$ , т.е. $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ , т.е. $a = b$ .

∎

Друго доказателство – с окръжност

Начертаваме отсечка $AB$ с дължина $a + b$ и точка $C$ върху нея с $AC = a$ , $CB = b$ . Над $AB$ като диаметър чертаем полуокръжност с радиус $\frac{a + b}{2}$ .
Издигаме перпендикуляр в $C$ до пресичането му с полуокръжността в точка $D$ . Ъгълът $ADB$ е прав (вписан ъгъл, опрян на диаметър), а $DC$ е височината към хипотенузата. По теоремата за височината в правоъгълен триъгълник $DC^2 = AC \cdot CB = ab$ , т.е. $DC = \sqrt{ab}$ .
$DC$ е полухорда, перпендикулярна на диаметъра, и не може да е по-дълга от радиуса: $\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$ . Равенство има, когато $DC$ е радиус, т.е. когато $C$ е центърът и $a = b$ .

∎

Пример

Да докажем, че $a + \frac{1}{a} \ge 2$ за всяко $a > 0$ . Кога има равенство?

Прилагаме неравенството за числата $a$ и $\frac{1}{a}$ : $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 1$
Умножаваме по 2: $a + \frac{1}{a} \ge 2$
Равенство има при $a = \frac{1}{a}$ , т.е. $a = 1$
Следствие: от всички правоъгълници с лице 1 най-малък периметър има квадратът

8. Задачи от живота

Внимавай с отговора: ако неизвестното е брой хора или билети, то е – и „ $x > 68{,}57$ “ означава „поне 69“.

0 / 6

📱 Мобилен план

План А струва 10 € на месец плюс 0,05 € за всяка минута разговор. План Б струва 25 € на месец с неограничени минути. Под колко минути на месец план А е по-изгоден?

📚 Срок

Имаш оценки 5, 6 и 5. Предстои още една. Каква най-малко трябва да е тя, за да имаш среден успех поне 5,50?

🛗 Асансьор

Товароносимостта на асансьор е 630 kg. В него вече има количка със 120 kg товар. Колко души по 75 kg най-много могат да се качат?

🎤 Училищен концерт

Наемът на залата е 240 €. Всеки билет се продава за 4 €, а отпечатването му струва 0,50 €. Колко билета най-малко трябва да се продадат, за да има печалба?

🏡 Ограда

С $40\ \mathrm{m}$ ограда искаме да оградим правоъгълна леха с лице поне $96\ \mathrm{m}^2$ . В какви граници може да бъде едната страна?

💊 Лекарство

Лекарство се съхранява при температура от 15 °C до 25 °C. Американски термометър показва °F, като $F = 1{,}8C + 32$ . В какви граници трябва да е показанието му?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Необърнат знак

✗ $\displaystyle -3x < 6 \to x < -2$

✓ $\displaystyle -3x < 6 \to x > -2$

Умножение по израз с неизвестен знак

✗ $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 1 \to x + 1 > x - 2$

✓ $\displaystyle \frac{3}{x - 2} > 0 \Rightarrow x > 2$

Включена нула на знаменателя

✗ $\displaystyle \frac{x - 1}{x + 2} \le 0 \to [-2;\ 1]$

✓ $\displaystyle (-2;\ 1]$

„Корен“ от неравенство

✗ $\displaystyle x^2 > 4 \to x > \pm 2$

✓ $\displaystyle x < -2$ или $\displaystyle x > 2$

Обединение вместо сечение

✗ $\displaystyle x > 1$ и $\displaystyle x < 5 \to$ всяко $\displaystyle x$

✓ $\displaystyle 1 < x < 5$

Модул, по-голям от число

✗ $\displaystyle |x| > 3 \to -3 < x < 3$

✓ $\displaystyle x < -3$ или $\displaystyle x > 3$

10. Тренажор

Реши неравенството и запиши отговора във вида „ $x <$ число“: избери знака и въведи границата.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

x + 11 ≥ −6x + 25

x

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Реши неравенството $\displaystyle -2x < 6$

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ Решенията на неравенство обикновено образуват интервали; ( ) – без края, [ ] – с края
✓ При умножение или делене на отрицателно число знакът се обръща
✓ Система неравенства → сечение на решенията; двойно неравенство → действия с трите части
✓ Метод на интервалите: нули → знаци → избор; на знаменателя не влизат в отговора
✓ $|x - a| < r$ – точки близо до $a$ (един интервал); $|x - a| > r$ – далеч от $a$ (два лъча)
✓ $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ при $a,\ b \ge 0$ ; равенство само при $a = b$
✓ Свойствата на неравенствата следват от $a < b \iff b - a > 0$ ; средно аритметично ≥ средно геометрично – от $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$
✓ В текстовите задачи проверяваме дали отговорът трябва да е цяло число

💡 Интересен факт

Знаците < и > се появяват в печат в книгата на английския математик Томас Хариът „Artis Analyticae Praxis“, издадена през 1631 г., десет години след смъртта му. Знаците за „по-малко или равно“ и „по-голямо или равно“ се приписват на френския учен Пиер Бугер (1734 г.), макар че тогава са изглеждали малко по-различно – с две черти отдолу.

1. Неравенства и интервали

Неравенство и решение

2. Свойства на неравенствата

Равносилни преобразувания на неравенства

3. Линейни неравенства

Пример

Пример

📏 Неравенство на числовата ос

4. Системи и двойни неравенства

Пример

5. Метод на интервалите

Метод на интервалите

Пример

🐍 Метод на интервалите

6. Неравенства с модул

Модулът като разстояние

📐 Модулът като разстояние

Пример

7. Доказване на неравенства

Неравенство между средно аритметично и средно геометрично

Пример

8. Задачи от живота

9. ⚠️ Чести грешки

10. Тренажор

11. 🎯 Бърз тест

Реши неравенството −2x<6\displaystyle -2x < 6−2x<6

12. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

Реши неравенството $\displaystyle -2x < 6$