Диференциални уравнения

🪐 Още в началото на XIX век астрономите забелязват, че Уран не се движи точно така, както предсказват уравненията на Нютон. През 1846 г. французинът Урбен Льоверие решава, че го „дърпа“ непозната планета, и само с хартия и молив пресмята къде трябва да е тя. На 23 септември 1846 г. Йохан Гале в Берлинската обсерватория насочва телескопа натам и още първата нощ открива Нептун – на около градус от предсказаното място. Казват, че Нептун е открит „на върха на перото“. Уравненията, които Льоверие решава, са диференциални: в тях неизвестното е цяла функция – движението на планетата във времето.

1. Какво е диференциално уравнение?

🤔 Загадка: Коя функция е равна на собствената си ? Константата 0 – да. А друга? Отговорът е $e^x$ , и всъщност всяка функция $Ce^x$ . Току-що решихме първото си диференциално уравнение: $y' = y$ .

Диференциално уравнение

Уравнение, в което неизвестното е функция

y(x)

и участват нейни производни, се нарича диференциално. Редът му е най-високата производна в него:

y' = 2x

е от първи ред,

y'' = -y

– от втори. Решение е всяка функция, която го превръща в тъждество.

Обикновено уравнението има безброй решения – цяло семейство. Например $y' = 2x$ се решава с интегриране (виж Интеграли): $y = x^2 + C$ . За да изберем едно решение, ни трябва начално условие, например $y(0) = 3$ , откъдето $C = 3$ .

Поле от направления

Уравнението

y' = f(x, y)

казва какъв е наклонът на решението във всяка точка

(x;\ y)

. Ако начертаем малка чертичка с този наклон в много точки, получаваме „карта“, по която решенията текат. При добри условия през всяка точка минава точно едно решение.

x₀0y₀1

начално условие y(0) = 1 · наклон там 0

Решенията са параболите y = x²/2 + C – една и съща крива, преместена нагоре или надолу.

💡 Всяка чертичка показва наклона y′ в тази точка. Решението на уравнението е крива, която във всяка своя точка следва чертичките. Премести началната точка – получаваш друго решение от същото семейство.

2. Уравнения с разделящи се променливи

Ако уравнението има вида $\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$ , можем да „разделим“ променливите – всичко с $y$ отляво, всичко с $x$ отдясно – и да интегрираме двете страни: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$ . Тук записът на Лайбниц $\frac{dy}{dx}$ наистина се държи като дроб.

Пример

Да решим $y' = ky$ (скоростта на изменение е пропорционална на количеството).

$\frac{dy}{y} = k\,dx \Rightarrow \int \frac{dy}{y} = \int k\,dx$
$\ln |y| = kx + C_1 \Rightarrow |y| = e^{C_1} e^{kx}$
Общо решение: $y = Ce^{kx}$ ; при $x = 0$ имаме $y(0) = C$ – началното количество.

Пример

Да решим $y' = xy$ с начално условие $y(0) = 2$ .

$\frac{dy}{y} = x\,dx \Rightarrow \ln |y| = \frac{x^2}{2} + C_1$
$y = Ce^{x^2/2}$
От $y(0) = C = 2$ : $y = 2e^{x^2/2}$

3. Растеж, разпад и изстиване

Експоненциален растеж и разпад

Решението на

y' = ky

y = y_0 e^{kt}

. При

k > 0

количеството се удвоява за едно и също време

T_2 = \frac{\ln 2}{k}

; при

k < 0

намалява наполовина за време

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}

– периода на полуразпад. Затова

y = y_0 \cdot 2^{t/T_2}

y = y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}

Доказателство

Проверка: $y = y_0 e^{kt}$ има производна $y' = y_0 \cdot k e^{kt} = ky$ – решение е.
Други решения няма. При разделянето на променливите делихме на $y$ – а ако $y$ някъде е 0? Ето доказателство без деление: нека $y$ е произволно решение и $u = y e^{-kt}$ . По правилото за производна на произведение $u' = y' e^{-kt} - k y e^{-kt}$ $= (y' - ky) e^{-kt} = 0$
Функция с нулева производна в интервал е константа: $u = C$ . Тогава $y = C e^{kt}$ , а от $t = 0$ получаваме $C = y_0$ . (Тук влиза и решението $y = 0$ при $y_0 = 0$ .)
Време за удвояване: $y_0 e^{kT_2} = 2y_0 \iff e^{kT_2} = 2 \iff T_2 = \frac{\ln 2}{k}$ . Полуразпадът е аналогичен с $e^{kT_{1/2}} = \frac{1}{2}$ .
Тогава $e^{k} = 2^{1/T_2}$ и $y = y_0 \left(e^{k}\right)^t = y_0 \cdot 2^{t/T_2}$

∎

Така се размножават , така расте влог при непрекъсната лихва и така се разпадат радиоактивните ядра – и на това се основава . Друг класически пример е законът на Нютон за изстиването: скоростта, с която тялото изстива, е пропорционална на разликата между неговата температура и тази на околната среда.

Закон на Нютон за изстиването

T' = -k(T - T_s)

, където

T_s

е температурата на околната среда. Полагаме

u = T - T_s

u' = -ku

, значи

u = u_0 e^{-kt}

T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}

T₀90Tₛ20k0,05

T(10) =62,5°T′(0) =−3,5° за минутадо 60°:11,2 мин

Колкото по-голяма е разликата със стаята, толкова по-бързо изстива – затова кривата е стръмна в началото.

💡 T₀ – началната температура, Tₛ – температурата на стаята, k – колко бързо изстива (зависи от чашата). Температурата клони към тази на стаята, но никога не я достига точно.

Растежът не може да е експоненциален вечно – храната и мястото свършват. По-реалистичен е логистичният модел $y' = ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)$ : докато $y$ е малко, расте почти експоненциално, а близо до капацитета $K$ растежът спира. Пробвай го в полето от направления по-горе.

4. Трептения: уравнение от втори ред

По пружината дърпа тежестта обратно със сила, пропорционална на отклонението: $F = -cx$ . От $F = mx''$ получаваме $x'' = -\frac{c}{m}x$ – уравнение, в което участва втората производна ().

Хармонично трептене

Решенията на

x'' = -\omega^2 x

са

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

– трептене с амплитуда

A

и период

T = \frac{2\pi}{\omega}

. Двете константи

A

\varphi

се определят от две начални условия: положението

x(0)

и скоростта

x'(0)

Пример

Да проверим, че $x = \sin 3t$ е решение на $x'' + 9x = 0$ , и да намерим периода.

$x' = 3\cos 3t$ , $x'' = -9\sin 3t$
$x'' + 9x = -9\sin 3t + 9\sin 3t = 0$ ✓
Тук $\omega = 3$ , така че $T = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$

Доказателство

Проверка: ако $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , то $x' = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$ и $x'' = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$ .
Период: $\cos$ се повтаря през $2\pi$ , а $\omega t$ нараства с $2\pi$ точно когато $t$ нараства с $T = \frac{2\pi}{\omega}$ .
Всякакви начални условия могат да се постигнат: трябва $A\cos \varphi = x(0)$ и $-A\omega \sin \varphi = x'(0)$ , т.е. точката $\left(x(0);\ -\frac{x'(0)}{\omega}\right)$ да е на разстояние $A$ от началото под ъгъл $\varphi$ . Такива $A \ge 0$ и $\varphi$ винаги има.
Единственост (чрез „енергия“): нека $x_1$ и $x_2$ са решения с едни и същи начални условия и $d = x_1 - x_2$ . Тогава $d'' = -\omega^2 d$ и $d(0) = d'(0) = 0$ . Разглеждаме $E = (d')^2 + \omega^2 d^2$ : $E' = 2d' d'' + 2\omega^2 d d'$ $= 2d'(d'' + \omega^2 d) = 0$
Значи $E$ е константа, а $E(0) = 0$ . Сбор от два квадрата е 0 само ако и двата са 0, затова $d = 0$ за всяко $t$ , т.е. $x_1 = x_2$ . Затова формулата $A\cos(\omega t + \varphi)$ описва всички решения.

∎

5. Когато формула няма: метод на Ойлер

Повечето диференциални уравнения нямат решение, което да се запише с формула. Тогава ги решаваме числено. Най-простият метод е на Леонард Ойлер (1768): от точката $(x_n;\ y_n)$ правим малка стъпка $h$ по допирателната: $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ .

стъпки2

h =3Ойлер y(6) ≈1точно y(6) =0,199грешка0,801

Разпад: при твърде голяма стъпка Ойлер „прескача“ под нулата.

💡 От началната точка тръгваме по допирателната (наклонът е y′ от уравнението), правим стъпка h, пресмятаме новия наклон и пак. Така работят и компютрите – само че с много малки стъпки и по-хитри формули.

Пример

Да пресметнем приближено $y(1)$ за $y' = y$ , $y(0) = 1$ (точно: $e \approx 2{,}718$ ).

С $h = 1$ (една стъпка): $y_1 = 1 + 1 \cdot 1 = 2$
С $h = 0{,}5$ : $y_1 = 1{,}5$ , $y_2 = 1{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$
С $h = 0{,}1$ (10 стъпки): $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$ – все по-близо до $e$

Защо методът на Ойлер дава точно

e

в границата?

За $y' = y$ стъпката е $y_{n+1} = y_n + h y_n = (1 + h) y_n$ – на всяка стъпка умножаваме по $1 + h$ .
С $n$ стъпки от 0 до 1 имаме $h = \frac{1}{n}$ и $y(1) \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
Това е редицата от втората забележителна граница (урока „Граници“), затова при $n \to \infty$ приближенията клонят към $e$ – точната стойност $y(1)$ .

∎

6. Тренажор

Реши уравнението или направи стъпките на Ойлер. Десетичните отговори въвеждай като 2,25.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

y'' + 4y' + 3y = 0

При кое по-голямо $k$ функцията $y = e^{kx}$ е решение?

7. Диференциалните уравнения около нас

Законите на физиката почти винаги са диференциални уравнения: движението на планетите (виж Закони на Кеплер), разпространението на топлина, в електрическа верига. С тях се моделират и епидемии, , лекарства в кръвта и цените на финансовите пазари.

0 / 6

🦴 Радиовъглеродно датиране

Въглерод-14 се разпада с период на полуразпад около 5730 години. В дървен предмет е останал 25% от въглерод-14 в сравнение с живо дърво. На колко години е приблизително предметът?

☕ Кафе на бюрото

Кафе с температура 90 °C е оставено в стая с 20 °C. След 5 минути то е 80 °C. След колко минути (от началото) ще стане 50 °C? Изстиването следва закона на Нютон.

🦠 Бактерии

Броят на бактериите в хранителна среда се удвоява на всеки 20 минути. Колко бактерии ще има след 3 часа, ако в началото са 1000?

💶 Непрекъсната лихва

Влог от 1000 € расте със скорост, пропорционална на сумата: $y' = 0{,}05y$ (5% годишно, олихвявани непрекъснато). Колко ще бъде влогът след 10 години?

🪂 Пределна скорост

При падане със съпротивление на въздуха скоростта удовлетворява $v' = 9{,}8 - 0{,}2v$ (в m/s). До каква скорост се доближава тялото?

💊 Лекарство в кръвта

Организмът изхвърля лекарство така, че количеството му намалява наполовина на всеки 4 часа. Колко mg остават 12 часа след доза от 200 mg?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Едно решение вместо семейство

✗ $\displaystyle y' = 2x \Rightarrow y = x^2$

✓ $\displaystyle y = x^2 + C$ – константата се намира от началното условие

Константа на грешното място

✗ $\displaystyle y' = ky \Rightarrow y = e^{kx} + C$

✓ $\displaystyle y = Ce^{kx}$ – константата е множител

Две полуразпадания

✗ след два периода не остава нищо

✓ остава $\displaystyle \frac{1}{4}$ – всеки период намалява наполовина

Период на трептене

✗ $\displaystyle x'' = -\omega^2 x \Rightarrow T = 2\pi\omega$

✓ $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}$

Изстиване до нула

✗ $\displaystyle T(t) = T_0 e^{-kt}$

✓ $\displaystyle T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ – клони към стайната температура

Ойлер е точен

✗ методът на Ойлер дава решението

✓ дава приближение; грешката намалява с по-малка стъпка

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Коя функция е решение на $\displaystyle y' = y$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Диференциалното уравнение свързва неизвестна функция с нейните производни; решенията образуват семейство
✓ Началното условие избира едно решение; полето от направления показва как текат решенията
✓ Разделяне на променливите: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$
✓ $y' = ky \Rightarrow y = y_0 e^{kt}$ ; или полуразпад $\frac{\ln 2}{|k|}$
✓ Изстиване: $T = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$ ; трептене: $x'' = -\omega^2 x \Rightarrow x = A\cos(\omega t + \varphi)$
✓ Решенията се проверяват със заместване, а единствеността – с помощна функция с нулева производна ( $ye^{-kt}$ , „енергията“ при трептенето)
✓ Метод на Ойлер: $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$

💡 Интересен факт

Прогнозата за времето е решение на огромна система диференциални уравнения за въздуха. Първият опит да се пресметне ръчно е на Луис Фрай Ричардсън по време на Първата световна война – той пресмята прогноза за 6 часа напред, а резултатът е силно грешен. Ричардсън мечтае за „фабрика за прогнози“ с 64 000 души, които смятат едновременно. Мечтата му се сбъдва с компютрите: през 1950 г. ENIAC пресмята първата успешна числена прогноза.

Диференциални уравнения

1. Какво е диференциално уравнение?

Диференциално уравнение

Поле от направления

2. Уравнения с разделящи се променливи

Пример

Пример

3. Растеж, разпад и изстиване

Експоненциален растеж и разпад

Закон на Нютон за изстиването

4. Трептения: уравнение от втори ред

Хармонично трептене

Пример

5. Когато формула няма: метод на Ойлер

Пример

6. Тренажор

7. Диференциалните уравнения около нас

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

Коя функция е решение на y′=y\displaystyle y' = yy′=y?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

Коя функция е решение на $\displaystyle y' = y$ ?