Олимпиадни неравенства

1. Четирите средни

В урока Неравенства доказахме, че $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ , като започнахме от $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ . Това неравенство има още двама „съседи“ – средното квадратично и средното хармонично.

О

Средни на две положителни числа

Средно квадратично

Q = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}

, средно аритметично

A = \frac{a + b}{2}

, средно геометрично

G = \sqrt{ab}

и средно хармонично

H = \frac{2ab}{a + b} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

(реципрочното на средното аритметично на реципрочните).

Т

Неравенство между средните

За всеки положителни

a

и

b

:

Q \ge A \ge G \ge H

, като във всяко от неравенствата равенство има само при

a = b

.

Доказателството е кратко. $Q^2 - A^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \ge 0$ . Неравенството $A \ge G$ вече знаем. Накрая $H = \frac{ab}{A} = \frac{G^2}{A} \le \frac{G^2}{G} = G$ , защото $A \ge G$ . Още по-нагледно е геометричното доказателство: в полуокръжност с диаметър $a + b$ четирите средни са отсечки и всяка е в правоъгълен триъгълник, чиято е предишната.

QM = CF =5,59AM = OD =5GM = CD =4,33HM = DE =3,75

5,59 ≥ 5 ≥ 4,33 ≥ 3,75 – хипотенузата е по-дълга от катета във всеки правоъгълен триъгълник.

💡 Влачи точката C по диаметъра. Радиусът OD е средното аритметично, перпендикулярът CD – средното геометрично (височина в правоъгълния триъгълник, вписан в полуокръжността), DE – средното хармонично, а CF – средното квадратично. Всяка следваща отсечка е катет в правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е предишната.

Пример

Везната от началото: рамената са $l_1$ и $l_2$ , показанията – $m_1$ и $m_2$ . Каква е истинската маса $m$ и защо продавачът винаги печели, ако таксува средното аритметично?

Стоката на лявото блюдо: равновесие при $m l_1 = m_1 l_2$ . На дясното: $m_2 l_1 = m l_2$ .
Оттук $m_1 = m\frac{l_1}{l_2}$ и $m_2 = m\frac{l_2}{l_1}$ . Умножаваме: $m_1 m_2 = m^2$ – раменете се съкращават.
Истинската маса е средното геометрично: $m = \sqrt{m_1 m_2} = \sqrt{1{,}6 \cdot 2{,}5} = 2\ \mathrm{kg}$ .
Продавачът таксува средното аритметично $\frac{m_1 + m_2}{2} \ge \sqrt{m_1 m_2} = m$ – винаги повече, освен ако раменете са равни.

2. Средните на n числа и най-голяма и най-малка стойност

Т

Неравенство между средното аритметично и средното геометрично

За неотрицателни числа

a_1, a_2, \ldots, a_n

:

\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

. Равенство има само когато всички числа са равни.

Едно хитро доказателство тръгва от две числа. За четири: $\frac{a + b + c + d}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}\right) \ge \sqrt{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd}} = \sqrt[4]{abcd}$ . Така стигаме до 8, 16, … числа. За три числа добавяме четвърто – самото им средно $A = \frac{a + b + c}{3}$ : $\frac{a + b + c + A}{4} = A \ge \sqrt[4]{abcA}$ , откъдето $A^4 \ge abcA$ и $A^3 \ge abc$ . Същият ход „надолу“ работи за всяко $n$ . Тази идея се свързва с името на Огюстен Коши.

Как се търси с

• Сборът е постоянен → произведението е най-голямо, когато събираемите са равни.
• Произведението е постоянно → сборът е най-малък, когато множителите са равни.
• Винаги проверяваме, че равенството наистина се достига при допустими стойности.

Пример

Да намерим най-малката стойност на $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ при $x > 0$ .

Директно $x^2 + \frac{2}{x} \ge 2\sqrt{2x}$ не помага – дясната страна зависи от $x$ .
Разделяме $\frac{2}{x}$ на две равни части, така че произведението да е константа: $x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}$ .
За трите числа: $x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3$ .
Равенство при $x^2 = \frac{1}{x}$ , т.е. $x = 1$ – допустимо. Най-малката стойност е $f(1) = 3$ .

Същата задача се решава и с производни, но неравенството дава отговора без смятане и показва защо минимумът е точно там.

3. Неравенство на Коши–Буняковски

Т

Неравенство на Коши–Буняковски

За всеки реални числа

a_1, \ldots, a_n

и

b_1, \ldots, b_n

:

(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)

. Равенство има само когато числата са пропорционални:

a_i = tb_i

за всяко

i

(или всички

b_i = 0

).

Доказателство: изразът $(a_1t - b_1)^2 + \ldots + (a_nt - b_n)^2$ е неотрицателен за всяко $t$ . Като го разкрием, получаваме квадратен $At^2 - 2Bt + C \ge 0$ , където $A = \sum a_i^2$ , $B = \sum a_ib_i$ , $C = \sum b_i^2$ . Тричлен, който не става отрицателен, има $4B^2 - 4AC \le 0$ – това е точно $B^2 \le AC$ .

За две числа неравенството има прост геометричен смисъл: това е скаларното произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\varphi$ , а $|\cos\varphi| \le 1$ . Неравенството носи имената на Огюстен Коши (за сборове, 1821 г.) и Виктор Буняковски (за , 1859 г.); в много страни го наричат и неравенство на Шварц.

u =(4; 1)v =(2; 3)(u·v)² =121|u|²·|v|² =221

(4 · 2 + 1 · 3)² = 121 ≤ (16 + 1) · (4 + 9) = 221

Разлика 100 = (4 · 3 − 1 · 2)² = 10²

💡 Влачи краищата на векторите. Лявата страна е квадратът на скаларното произведение, дясната – произведението на квадратите на дължините. Разликата им е точно (u₁v₂ − u₂v₁)² – квадратът на лицето на успоредника, построен върху векторите. Затова равенство има само когато векторите лежат на една права.

Т

Форма на Енгел (лема на Титу)

За реални

a_1, \ldots, a_n

и положителни

x_1, \ldots, x_n

:

\frac{a_1^2}{x_1} + \frac{a_2^2}{x_2} + \ldots + \frac{a_n^2}{x_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}

, с равенство при

\frac{a_1}{x_1} = \ldots = \frac{a_n}{x_n}

. Получава се от Коши–Буняковски за числата

\frac{a_i}{\sqrt{x_i}}

и

\sqrt{x_i}

.

Пример

Неравенство на Несбит (1903 г.): за положителни $a$ , $b$ , $c$ е вярно $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \ge \frac{3}{2}$ .

Пишем всяка дроб с квадрат в числителя: $\frac{a}{b + c} = \frac{a^2}{a(b + c)}$ .
Форма на Енгел: $\sum \frac{a^2}{a(b + c)} \ge \frac{(a + b + c)^2}{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)} = \frac{(a + b + c)^2}{2(ab + bc + ca)}$ .
Остава $(a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)$ , т.е. $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ – доказахме го в урока „Неравенства“ (задача 9).
Равенство при $a = b = c$ .

4. Пренареждане и неравенство на Чебишов

🤔 Загадка: Имаш банкноти от 5, 10 и 20 € и можеш да вземеш 1, 2 и 3 броя от тях – но от всеки вид различен брой. Как да разпределиш броевете, за да получиш най-много пари? Отговорът е очевиден: най-много броя – от най-едрата банкнота. Това „очевидно“ е теорема.

Т

Неравенство за пренареждането

Ако

a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n

и

b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n

, то за всяко пренареждане

c_1, \ldots, c_n

на числата

b_i

:

a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \ge a_1c_1 + \ldots + a_nc_n \ge a_1b_n + a_2b_{n-1} + \ldots + a_nb_1

. Еднакво подредените редици дават най-голям сбор, обратно подредените – най-малък.

Доказателство с „размяна“: ако в сбора по-голямото $a_j$ е умножено по по-малкото $c$ , разменяме двата множителя. При $a_i \le a_j$ и $c_i \ge c_j$ разликата е $(a_ic_j + a_jc_i) - (a_ic_i + a_jc_j) = (a_j - a_i)(c_i - c_j) \ge 0$ – сборът не намалява. След краен брой размени редиците стават еднакво подредени.

Пример

Да докажем, че $a^3 + b^3 + c^3 \ge a^2b + b^2c + c^2a$ за положителни $a$ , $b$ , $c$ .

Редиците $(a^2, b^2, c^2)$ и $(a, b, c)$ са еднакво подредени – по-голямото число има по-голям квадрат.
Еднакво подредени: $a^2 \cdot a + b^2 \cdot b + c^2 \cdot c$ – най-големият възможен сбор.
$a^2 \cdot b + b^2 \cdot c + c^2 \cdot a$ е друго пренареждане на втората редица, затова е по-малък или равен.

Т

Неравенство на Чебишов

Ако

a_1 \le \ldots \le a_n

и

b_1 \le \ldots \le b_n

, то

\frac{a_1b_1 + \ldots + a_nb_n}{n} \ge \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \cdot \frac{b_1 + \ldots + b_n}{n}

. Средното на произведенията е поне колкото произведението на средните. Доказва се, като съберем

n

неравенства за пренареждане (с циклично изместените редици).

5. Изпъкналост и неравенство на Йенсен

О

Изпъкнала функция

Функцията

f

е изпъкнала на интервал, ако всяка хорда на графиката ѝ лежи над графиката (или върху нея). Ако хордите са под графиката, функцията е вдлъбната. Ако производната

f'

расте (например

f''(x) \ge 0

), функцията е изпъкнала.

Т

Неравенство на Йенсен

Ако

f

е изпъкнала,

w_1, \ldots, w_n \ge 0

и

w_1 + \ldots + w_n = 1

, то

f(w_1x_1 + \ldots + w_nx_n) \le w_1f(x_1) + \ldots + w_nf(x_n)

. При равни тегла:

f\left(\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1) + \ldots + f(x_n)}{n}

. За вдлъбната функция знакът е обратен.

x =0,5·1,5 + 0,5·7 = 4,25f(x) =1,806w·f(x₁) + (1 − w)·f(x₂) =2,563

1,806 ≤ 2,563: точката от графиката е под хордата.

x₁1,5x₂7w0,5

💡 Изпъкнала (convex) функция: всяка хорда лежи над графиката, затова стойността в средно претеглената точка е най-много средно претеглената стойност. При вдлъбнатата е обратно. Това е неравенството на Йенсен за две точки; за повече точки е същото.

Йенсен обединява много от досегашните неравенства. За изпъкналата $f(x) = x^2$ получаваме $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \le \frac{a^2 + b^2}{2}$ – това е $A \le Q$ . За вдлъбнатата $f(x) = \ln x$ : $\ln\frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \ge \frac{\ln a_1 + \ldots + \ln a_n}{n} = \ln\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}$ – това е неравенството между средното аритметично и средното геометрично за $n$ числа (виж урока Логаритми).

Пример

Да докажем, че за ъглите на всеки триъгълник $\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

На интервала $[0;\ \pi]$ функцията $\sin x$ е вдлъбната – графиката е „дъга“ над всяка своя хорда.
По Йенсен за вдлъбната функция: $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \le \sin\frac{A + B + C}{3} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Умножаваме по 3: $\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}598$ , с равенство за равностранния триъгълник.

6. Олимпиадни техники

Освен готовите неравенства, състезателите използват няколко общи хода. Ето четири от най-полезните.

Сбор от квадрати (SOS)

Записваме разликата на двете страни като сбор от квадрати с неотрицателни коефициенти. Например $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$ – за неотрицателни числа това е неравенството между средните за три числа.

Хомогенизиране и нормиране

Ако е дадено $a + b + c = 1$ , можем да заменим единиците с $a + b + c$ , така че всички членове да са от една степен. Например $ab + bc + ca \le \frac{1}{3}$ става $ab + bc + ca \le \frac{(a + b + c)^2}{3}$ . Обратно, хомогенно неравенство можем да „нормираме“ – да приемем удобно, например $a + b + c = 3$ .

Субституция

Условие като $abc = 1$ често се „скрива“ със смяна $x = \frac{1}{a}$ , $y = \frac{1}{b}$ , $z = \frac{1}{c}$ – тогава и $xyz = 1$ , а изразът става по-приятен (виж задача 9). За страните на триъгълник: $a = y + z$ , $b = z + x$ , $c = x + y$ с положителни $x, y, z$ .

Допирателна

Когато очакваме равенство при $a = b = c$ , сравняваме всеки член с допирателната в тази точка. Пример по-долу.

Пример

Неотрицателните числа $a$ , $b$ , $c$ имат сбор 3. Да докажем, че $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3$ .

Очакваме равенство при $a = b = c = 1$ . Допирателната към $y = x^3$ в точката $x = 1$ е $y = 3x - 2$ .
Проверяваме, че графиката е над нея: $x^3 - (3x - 2) = (x - 1)^2(x + 2) \ge 0$ за всяко $x \ge 0$ .
Събираме трите неравенства: $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3(a + b + c) - 6 = 9 - 6 = 3$ .
Равенство при $a = b = c = 1$ .

7. Тренажор

Средни, най-малка и най-голяма стойност с неравенството между средните и с Коши–Буняковски. Дробните отговори въвеждай като 25/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

a = 8,\quad b = 18

Средно хармонично $H = ?$

8. Задачи от живота

Много задачи за „най-изгодно“ са скрито неравенство между средните: щом нещо е постоянно, оптимумът е при равни части.

0 / 6

🚗 Средна скорост

Шофьор кара от София до Пловдив със 60 km/h, а обратно по същия път – с 40 km/h. Каква е средната му скорост за целия път?

📦 Кутия без капак

От квадратен картон със страна 30 cm изрязваме в ъглите четири еднакви квадратчета със страна $x$ и сгъваме кутия без капак. При какво $x$ обемът е най-голям и колко е той?

🐑 Загон с преграда

Фермер има 600 m мрежа. Иска правоъгълен загон, разделен на две части с една преграда, успоредна на едната страна. Колко е най-голямото лице на загона?

📈 Среден годишен ръст

Цената на акция се покачва с 60% през първата година и пада с 10% през втората. С колко процента средно на година се е променяла?

⚖️ Везна с неравни рамена

Продавач с неточна везна (раменете ѝ са с различна дължина) претегля стока веднъж на лявото блюдо – 1,6 kg, и веднъж на дясното – 2,5 kg. Колко е истинската маса и с колко грама средното аритметично на двете показания надценява стоката?

🥛 Кутия с най-малко картон

Затворена кутия с форма на правоъгълен паралелепипед трябва да побира $1000\ \mathrm{cm}^3$ . Колко най-малко картон (лице на повърхнината) е нужен?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Средни на отрицателни числа

✗ $x + \frac{1}{x} \ge 2$ за всяко $x \ne 0$

✓ при $x = -1$ сборът е $-2$ ; нужно е $x > 0$

Равенството не се достига

✗ при $x \ge 2$ : $x + \frac{1}{x} \ge 2$ , значи минимумът е 2

✓ равенство е само при $x = 1$ , а то е извън областта; минимумът е $\frac{5}{2}$ при $x = 2$

Границата зависи от x

✗ $x^2 + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x}$ , значи минимумът е $2\sqrt{x}$

✓ $\frac{1}{x} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2x}$ дава константа: $\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Събрани неравенства с различно равенство

✗ $a^2 + 1 \ge 2a$ и $a^2 + 4 \ge 4a$ , значи най-малката стойност на $2a^2 - 6a + 5$ е 0

✓ равенствата са при $a = 1$ и $a = 2$ – не едновременно; минимумът е $\frac{1}{2}$ при $a = \frac{3}{2}$

Умножаване на неравенства

✗ $-3 < 1$ и $-2 < 1$ , значи $6 < 1$

✓ неравенства се умножават почленно само при положителни страни

Йенсен в грешната посока

✗ $\sin A + \sin B + \sin C \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$

✓ на $[0;\ \pi]$ синусът е вдлъбнат: сборът е $\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Кое е вярно за всеки положителни числа $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a + b}$ за положителни $a,\ b$ ; равенство само при $a = b$
✓ $\frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}$ : постоянен сбор → най-голямо произведение; постоянно произведение → най-малък сбор
✓ Коши–Буняковски: $\left(\sum a_ib_i\right)^2 \le \sum a_i^2 \sum b_i^2$ ; форма на Енгел: $\sum \frac{a_i^2}{x_i} \ge \frac{(\sum a_i)^2}{\sum x_i}$
✓ Пренареждане: еднакво подредени дават най-голям сбор от произведения
✓ Йенсен: за изпъкнала $f$ стойността в средното е най-много средното на стойностите
✓ Техники: сбор от квадрати, хомогенизиране, субституция, допирателна
✓ Винаги проверяваме кога има равенство – и дали то е възможно

💡 Интересен факт

Първата книга, посветена изцяло на неравенствата, е „Inequalities“ на Годфри Харди, Джон Литълууд и Георг Пойа, издадена в Кеймбридж през 1934 г. Дотогава неравенствата били „помощни инструменти“, разпръснати из статии по анализ. Книгата ги събира в стройна теория – и много от техниките, които днес се учат за олимпиади, идват оттам.

1. Четирите средни

Средни на две положителни числа

Неравенство между средните

Пример

2. Средните на n числа и най-голяма и най-малка стойност

Неравенство между средното аритметично и средното геометрично

Пример

3. Неравенство на Коши–Буняковски

Неравенство на Коши–Буняковски

Форма на Енгел (лема на Титу)

Пример

4. Пренареждане и неравенство на Чебишов

Неравенство за пренареждането

Пример

Неравенство на Чебишов

5. Изпъкналост и неравенство на Йенсен

Изпъкнала функция

Неравенство на Йенсен

Пример

6. Олимпиадни техники

Пример

7. Тренажор

8. Задачи от живота

9. ⚠️ Чести грешки

10. 🎯 Бърз тест

Кое е вярно за всеки положителни числа a\displaystyle aa и b\displaystyle bb?

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

Кое е вярно за всеки положителни числа $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ ?