Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Гравитация и закон на Нютон

🍎 Защо ябълката пада, а Луната – не? Голямото прозрение на Нютон е, че Луната също пада – непрекъснато, към Земята. И че една и съща сила движи ябълката, Луната, планетите и дори галактиките. За първи път законите на небето и на Земята се оказали едни и същи.

1. Закон за всемирното привличане

Исак Нютон публикува закона през 1687 г. в книгата си „Математически начала на натурфилософията“.

Т

Закон за всемирното привличане

Всеки две тела се привличат със сила, пропорционална на произведението на масите им и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях: F=G⋅m1⋅m2/r2F = G\cdot m_1\cdot m_2 / r^2, където G=6,674⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}} е гравитационната константа.
  • FF – сила на привличане (N); насочена е по правата, свързваща телата
  • m1, m2m_1,\ m_2 – масите на телата (kg)
  • rr – разстоянието между центровете им (m); за кълбо формулата важи, все едно цялата маса е в центъра
  • Двете тела се привличат с равни по големина и противоположни сили (III закон на Нютон) – дори ако едното е Земята, а другото е ябълка

Лаборатория „Привличане“

Удвоявайте масите и разстоянието и предскажете силата, преди да погледнете!

r = 384 400 km🌍🌙FFЗемя Луна
Маса: Земя
×1
Маса: Луна
×1
Разстояние
×1

Сила на привличане

F = 1,98 × 10²⁰ N

Спрямо началото силата е същата

×1×2×3×4FrF ∝ 1/r²

🤔 Защо тогава ябълката пада към Земята, а не обратното?

Силите са равни, но е a=F/ma = F / m. Масата на Земята е 102410^{24} пъти по-голяма, затова тя се премества незабележимо малко, а ябълката – с 9,8 m/s29{,}8\ \mathrm{m/s}^2.

2. Гравитационно ускорение, маса и тегло

Т

Ускорение на свободното падане

На повърхността на тяло с маса MM и радиус RR всяко тяло пада с ускорение g=G⋅M/R2g = G\cdot M / R^2, независимо от собствената си маса. На височина hh над повърхността g(h)=g0⋅(RR+h)2g(h) = g_0\cdot \left(\frac{R}{R + h}\right)^2.

Масата (kg) е мярка за количеството вещество и е еднаква навсякъде. Теглото (N) е силата, с която планетата ви привлича: P=m⋅gP = m\cdot g.

Колко тежите на други светове?

Масата ви е една и съща навсякъде. Променя се теглото – силата, с която тялото ви привлича.

☿️Меркурий
g = 3,70 m/s² (0,38 g⊕)
222 N
Скок: 1,3 m
♀️Венера
g = 8,87 m/s² (0,90 g⊕)
532 N
Скок: 0,6 m
🌍Земя
g = 9,82 m/s² (1,00 g⊕)
589 N
Скок: 0,5 m
🌙Луна
g = 1,62 m/s² (0,17 g⊕)
97 N
Скок: 3,0 m
🔴Марс
g = 3,73 m/s² (0,38 g⊕)
224 N
Скок: 1,3 m
🪐Юпитер
g = 25,92 m/s² (2,64 g⊕)
1555 N
Няма твърда повърхност 🙃
🪐Сатурн
g = 11,19 m/s² (1,14 g⊕)
671 N
Няма твърда повърхност 🙃
🧊Плутон
g = 0,62 m/s² (0,06 g⊕)
37 N
Скок: 8,0 m
☀️Слънце
g = 274,03 m/s² (27,91 g⊕)
16442 N
Няма твърда повърхност 🙃

А ако се издигнем над Земята?

g = 8,67 m/s²

g(h) = g₀ · (R / (R + h))² = 88,3% от земното. Астронавтите на МКС не са „без гравитация“ – те просто падат свободно заедно със станцията!

3. Луната пада! Проверката на Нютон

Нютон проверил закона си, като сравнил ябълката с Луната. Луната е на около 60 земни радиуса от центъра на Земята. Ако силата намалява с квадрата на разстоянието, ускорението на Луната трябва да е 602=360060^2 = 3600 пъти по-малко от gg.

Пример

Сравнете очакваното и измереното ускорение на Луната.

  1. По закона на Нютон: a=g/602=9,81/3600≈2,72⋅10−3 m/s2a = g / 60^2 = 9{,}81 / 3600 \approx 2{,}72\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m/s}^2.
  2. От движението на Луната: тя обикаля по окръжност с r=3,844⋅108 mr = 3{,}844\cdot 10^8\ \mathrm{m} за T=27,32T = 27{,}32 дни =2,36⋅106 s= 2{,}36\cdot 10^6\ \mathrm{s}.
  3. Центростремително ускорение: a=4π2rT2=4π2⋅3,844⋅108(2,36⋅106)2≈2,72⋅10−3 m/s2a = \frac{4\pi^2r}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 3{,}844\cdot 10^8}{(2{,}36\cdot 10^6)^2} \approx 2{,}72\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m/s}^2.
  4. Двете числа съвпадат! Една и съща сила кара ябълката да пада и Луната да обикаля.

Топът на Нютон

Нютон си представил топ на връх, по-висок от атмосферата. С каква скорост трябва да изстреля гюлето, за да не падне никога?

v = 7,73 km/s🛰️ Кръгова орбита – снарядът пада, но Земята се „извива“ под него

На височина 300 km кръговата скорост е v₁ = √(GM / r) ≈ 7,73 km/s, а скоростта за бягство е v₂ = √2 · v₁ ≈ 10,93 km/s. Повече за тях – в урока „Орбити и скорости“.

4. Как се „претегля“ Земята?

Нютон знаел gg и RR, но не и GG – затова не могъл да пресметне масата на Земята. През 1798 г. Хенри Кавендиш измерил GG с торзионна везна: две малки оловни топчета, окачени на тънка нишка, се завъртали едва забележимо към две големи топки.

Пример

Пресметнете масата и средната плътност на Земята.

  1. От g=GM/R2g = GM / R^2 следва M=gR2/GM = gR^2 / G.
  2. M=9,81⋅(6,371⋅106)26,674⋅10−11≈5,97⋅1024 kgM = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}371\cdot 10^6)^2}{6{,}674\cdot 10^{-11}} \approx 5{,}97\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}.
  3. Обем: V=43⋅πR3≈1,083⋅1021 m3V = \frac{4}{3} \cdot \pi R^3 \approx 1{,}083\cdot 10^{21}\ \mathrm{m^{3}}.
  4. Плътност: ρ=M/V≈5510 kg/m3=5,5 g/cm3\rho = M / V \approx 5510\ \mathrm{kg/m^{3}} = 5{,}5\ \mathrm{g/cm^{3}} – два пъти повече от скалите на повърхността. Значи ядрото на Земята е от много плътно вещество (желязо)!
Т

Маса от орбита

Ако спътник обикаля тяло по орбита с радиус aa и период TT, масата на централното тяло е M=4π2a3G⋅T2M = \frac{4\pi^2a^3}{G\cdot T^2}. Така се „претеглят“ Слънцето, планетите със спътници, двойните звезди и дори черните дупки. Това е III закон на Кеплер в обобщения вид на Нютон (виж „Закони на Кеплер“).

Пример

Колко е масата на Слънцето?

  1. Земята обикаля Слънцето по почти кръгова орбита с a=1,496⋅1011 ma = 1{,}496\cdot 10^{11}\ \mathrm{m} за T=1T = 1 година =3,156⋅107 s= 3{,}156\cdot 10^7\ \mathrm{s}.
  2. M⊙=4π2⋅(1,496⋅1011)36,674⋅10−11⋅(3,156⋅107)2M_{\odot} = \frac{4\pi^2 \cdot (1{,}496\cdot 10^{11})^3}{6{,}674\cdot 10^{-11} \cdot (3{,}156\cdot 10^7)^2}
  3. M⊙≈1,99⋅1030 kgM_{\odot} \approx 1{,}99\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg} – около 333 000 пъти масата на Земята.

5. Център на масите

Щом и двете тела се привличат, не само Луната обикаля Земята – двете обикалят около общия си център на масите (барицентър). Разстоянието му от по-масивното тяло е x=r⋅mM+mx = \frac{r \cdot m}{M + m}.

🌍 Земя – Луна

x=384 400 km⋅7,34⋅1022/6,05⋅1024≈4670 kmx = 384\,400\ \mathrm{km} \cdot 7{,}34\cdot 10^{22} / 6{,}05\cdot 10^{24} \approx 4670\ \mathrm{km} от центъра на Земята – под повърхността, на ~1700 km дълбочина. Земята „клатушка“ около тази точка веднъж месечно.

☀️ Слънце – Юпитер

x≈778⋅106 km/1048≈742 000 kmx \approx 778\cdot 10^6\ \mathrm{km} / 1048 \approx 742\,000\ \mathrm{km} – малко извън Слънцето (R⊙=696 000 kmR_{\odot} = 696\,000\ \mathrm{km}). Такова „клатене“ на звезди издава невидими планети около тях (Урок 30).

6. Приливи и отливи

Луната привлича по-силно близката до нея страна на Земята и по-слабо далечната. Разликата – приливната сила – разтяга Земята по линията към Луната. Океаните образуват две издутини: откъм Луната (водата е привлечена по-силно от Земята) и от противоположната страна (Земята е привлечена по-силно от водата).

Т

Приливно ускорение

Приливното ускорение от тяло с маса MM на разстояние dd в точка на повърхността на Земята е приблизително a≈2⋅G⋅M⋅R/d3a \approx 2\cdot G\cdot M\cdot R / d^3. То намалява с куба на разстоянието – затова Луната, макар и 27 милиона пъти по-лека от Слънцето, създава около 2,2 пъти по-силни приливи.

Приливи и отливи

Изглед от север. Стрелките показват приливната сила – разликата между привличането в дадена точка и в центъра на Земята.

☀️ СлънцеЛуна
🌊 Сизигиен прилив (най-силен)
100%

Височината на издутините е увеличена хиляди пъти: в открития океан приливът е около 0,5 m. Ъгълът между Луната и Слънцето е 0° (по модул 180°).

  • Земята се върти под издутините, затова на всяко място има по два прилива и два отлива за ~24h 50m (лунното денонощие) – на всеки ~12h 25m.
  • Сизигийни (големи) приливи – при новолуние и пълнолуние: приливите от Луната и Слънцето се събират.
  • Квадратурни (малки) приливи – при първа и последна четвърт: двете действия частично се компенсират.
  • Приливното забавя въртенето на Земята и отдалечава Луната (виж „Движение на Земята“ и „Фази на Луната“). Същите сили са „заключили“ Луната да гледа Земята с една страна.

7. 🎯 Бърз тест

1 / 5
✓ 0

Как се променя силата на привличане, ако разстоянието се утрои?

8. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

9. Обобщение

  • ✓ F=G⋅m1⋅m2/r2F = G\cdot m_1\cdot m_2 / r^2; G=6,674⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}
  • ✓ Силите между две тела са равни и противоположни
  • ✓ g=GM/R2g = GM / R^2; на височина hh: g0⋅(RR+h)2g_0\cdot \left(\frac{R}{R + h}\right)^2
  • ✓ Масата е постоянна, теглото P=mgP = mg зависи от мястото
  • ✓ Орбитата е непрекъснато
  • ✓ Маса от орбита: M=4π2a3GT2M = \frac{4\pi^2a^3}{GT^2}
  • ✓ Приливната сила ∝M/d3\propto M / d^3; Луната създава 2,2 пъти по-силни приливи от Слънцето

💡Интересен факт

Гравитацията е най-слабата от фундаменталните сили: малко магнитче на хладилника удържа кламер срещу привличането на цялата Земя! Тя управлява Вселената само защото масите са огромни и защото – за разлика от електричеството – няма „отрицателна“ маса, която да я неутрализира. А легендата за ябълката, паднала на главата на Нютон, вероятно е преувеличена – но самият Нютон разказвал, че падаща ябълка в градината го е накарала да се замисли.