Многоъгълници и лица

1. Вътрешни ъгли: от един връх на изпъкнал $n$-ъгълник прекарваме всички $n - 3$ диагонала. Те го разрязват на $n - 2$ триъгълника, чиито ъгли заедно съставят точно ъглите на многоъгълника. Значи сборът е $(n - 2) \cdot 180^\circ$.
2. Външни ъгли: при всеки връх вътрешният и външният ъгъл дават $180^\circ$, общо $n \cdot 180^\circ$. Изваждаме сбора на вътрешните: $n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
3. Правилен $n$-ъгълник: всичките $n$ ъгли са равни, затова делим сборовете на $n$: вътрешният ъгъл е $\frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$, а външният – $\frac{360^\circ}{n}$.

∎

1. Общ център: симетралите на две съседни страни се пресичат в точка $O$. От равенството на страните и ъглите следва (с еднакви триъгълници), че $O$ е на равни разстояния от всички върхове и от всички страни – тя е център и на описаната, и на вписаната окръжност.
2. Отсечките $OA_1, OA_2, \ldots, OA_n$ разрязват многоъгълника на $n$ еднакви равнобедрени триъгълника с основа $a$ и височина $r$ (разстоянието от $O$ до страната).
3. Лицето на всеки е $\frac{a \cdot r}{2}$, а на всички: $$S = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} = \frac{1}{2} \cdot (na) \cdot r = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$$
4. Шестоъгълник: централният ъгъл е $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$, а ъглите при основата на равнобедрения триъгълник са по $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$. Триъгълниците са равностранни, всеки с лице $\frac{\sqrt{3}\,a^2}{4}$.

∎

1. Да започнем с триъгълник с връх в началото $O$ и върхове $P(x_1;\ y_1)$, $Q(x_2;\ y_2)$ в първи квадрант, като $P$ е по-надясно и по-надолу. Описваме около него правоъгълник със страни $x_1 + x_2$ и $y_1 + y_2$ (успоредникът $OPRQ$ с $R = P + Q$ е вътре в него).
2. От правоъгълника изрязваме две двойки правоъгълни триъгълници (с лица $\frac{x_1y_1}{2}$ и $\frac{x_2y_2}{2}$) и два правоъгълника $x_2 \times y_1$. За успоредника остава $$(x_1 + x_2)(y_1 + y_2) - x_1y_1 - x_2y_2 - 2x_2y_1$$ $$= x_1y_2 - x_2y_1$$ а триъгълникът $OPQ$ е половината: $\frac{1}{2}(x_1y_2 - x_2y_1)$.
3. Изразът $\frac{1}{2}(x_1y_2 - x_2y_1)$ е лице със знак: положително, ако от $P$ към $Q$ завиваме обратно на часовниковата стрелка, и отрицателно – ако по нея.
4. За многоъгълник събираме лицата със знак на триъгълниците $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, … , $OA_nA_1$. Частите извън многоъгълника се покриват веднъж с плюс и веднъж с минус и се унищожават. Остава лицето на многоъгълника (със знак според посоката на обхождане) – затова модулът.

∎

1. Адитивност: ако долепим два многоъгълника по обща отсечка с $c$ възела (включително двата края), то $I = I_1 + I_2 + (c - 2)$ и $B = B_1 + B_2 - 2c + 2$. Провери, че тогава $$I + \frac{B}{2} - 1$$ $$= \left(I_1 + \frac{B_1}{2} - 1\right) + \left(I_2 + \frac{B_2}{2} - 1\right)$$ – изразът на Пик се събира точно като лицата.
2. Правоъгълник $m \times n$ по линиите на мрежата: $I = (m - 1)(n - 1)$ и $B = 2(m + n)$, а $I + \frac{B}{2} - 1 = mn$ – вярно.
3. Правоъгълен триъгълник с катети $m$ и $n$ по мрежата: диагоналът разрязва правоъгълника на два еднакви триъгълника. Ако върху диагонала има $k$ вътрешни възела, то $I_{\text{правоъгълник}} = 2I + k$ и $B = m + n + 1 + k$, откъдето $I + \frac{B}{2} - 1 = \frac{mn}{2}$ – вярно.
4. Всеки триъгълник с върхове във възли се получава от правоъгълник, като отрежем правоъгълни триъгълници (и евентуално правоъгълник), а всеки многоъгълник се разрязва на триъгълници. По адитивността формулата важи навсякъде.

∎