Импулс и удари

🚀 През януари 1920 г. вестник „Ню Йорк Таймс“ подиграва в редакционна статия американския физик Робърт Годард, който твърди, че ракета може да полети до Луната. Според вестника ракетата нямало от какво да се „отблъсне“ в празното пространство – и всеки ученик го знаел. Почти 50 години по-късно, на 17 юли 1969 г., докато „Аполо 11“ лети към Луната, вестникът публикува кратка поправка: ракетата наистина може да работи във вакуум. Годард е бил прав, а вестникът е сбъркал в един от най-важните закони на физиката – закона за запазване на импулса.

1. Импулс на тяло

Кое е по-трудно да спреш – колело или камион, движещи се с еднаква скорост? А куршум или хвърлен камък? Отговорът зависи и от масата, и от скоростта. Мярка за „количеството движение“ е импулсът.

Импулс

Импулсът на тяло с маса

m

и скорост

\vec{v}

\vec{p} = m\vec{v}

. Той е вектор, насочен като скоростта; единицата му е

\mathrm{kg \cdot m/s}

. Импулсът на система от тела е векторната сума на импулсите на отделните тела.

Пример

Да сравним импулсите на камион с маса 10 t, който пълзи с 1 m/s, и на куршум с маса 10 g и скорост 800 m/s.

Камион: $p = 10\,000 \cdot 1 = 10\,000\ \mathrm{kg \cdot m/s}$
Куршум: $p = 0{,}01 \cdot 800 = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$
Импулсът на бавния камион е над 1000 пъти по-голям.

2. Импулс на силата

(виж Закони на Нютон) може да се запише и чрез импулса. Ако на тяло действа сила $\vec{F}$ за време $\Delta t$ , то $m\vec{a}\Delta t = m\Delta\vec{v}$ .

Импулс на силата

\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}

: изменението на импулса на тялото е равно на импулса на силата. Ако силата се мени,

\Delta p

е лицето под графиката

F(t)

, а средната сила е

F_{\text{ср}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}

Оттук идва цялата техника за безопасност при удари. Когато тяло спира, $\Delta p = mv$ е определено – не можем да го променим. Но можем да удължим времето $\Delta t$ – тогава силата намалява. Така работят въздушните възглавници, каските, матраците при скок на височина, свитите колене при приземяване и смачкваемите зони на колите.

Δt, ms1

средна сила266 Nнай-голяма417 Nзабавяне452 g

Твърд удар. Пусни го върху възглавница: около 50 ms.

💡 Изменението на импулса Δp = mv е едно и също – тялото и в двата случая спира. Затова лицето под кривата F(t) е едно и също. Възглавницата, свитите колене и въздушната възглавница в колата удължават времето Δt и така намаляват силата. Забавянето е дадено в единици g = 9,81 m/s².

Пример

Топка с маса 0,4 kg удря стена с 10 m/s и отскача назад с 8 m/s. Контактът трае 0,01 s. Каква е средната сила?

Посоката към стената е положителна: $\Delta p = m(v_2 - v_1) = 0{,}4 \cdot (-8 - 10) = -7{,}2\ \mathrm{kg \cdot m/s}$
$F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{7{,}2}{0{,}01} = 720\ \mathrm{N}$ , насочена от стената
При отскачане изменението на импулса е по-голямо, отколкото ако топката просто спре – скоростите се събират.

3. Закон за запазване на импулса

Система от тела е затворена, ако външните сили върху нея се уравновесяват (или са пренебрежимо малки за краткото време на удара). Вътрешните сили идват по двойки – по те са равни и противоположни, затова импулсите, които предават, се унищожават.

Закон за запазване на импулса

В затворена система пълният импулс не се мени:

m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'

. Следствие: центърът на масата на затворена система се движи с постоянна скорост

\vec{v}_{\text{ЦМ}} = \frac{\vec{p}}{m_1 + m_2}

Пример

Ловна пушка с маса 4 kg изстрелва куршум от 10 g със скорост 800 m/s. Каква е скоростта на отката?

Преди изстрела импулсът е 0, значи и след него: $0 = mv + MV$
$V = -\frac{mv}{M} = -\frac{0{,}01 \cdot 800}{4} = -2\ \mathrm{m/s}$ – минусът показва, че пушката се движи назад.

Пример

Кънкьорка с маса 60 kg стои на леда и хвърля напред топка с маса 3 kg със скорост 5 m/s. С каква скорост се плъзга назад?

$60 \cdot V = 3 \cdot 5 \Rightarrow V = 0{,}25\ \mathrm{m/s}$
Центърът на масата на системата „кънкьорка + топка“ остава на място.

4. Удари

При всеки удар импулсът се запазва. обаче може да се превърне частично в топлина, звук и деформация (виж Работа, енергия, мощност). Според това ударите биват:

Видове удари

При еластичен удар се запазва и кинетичната енергия. При напълно нееластичен удар телата продължават заедно:

v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

– тогава се губи най-много енергия. Междинните случаи описва коефициентът на възстановяване

e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}

e = 1

при еластичен и

e = 0

при напълно нееластичен удар.

Еластичен централен удар

От двата закона за запазване:

v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}

v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}

. При равни маси телата си разменят скоростите.

m₁, kg2v₁, m/s2m₂, kg1v₂, m/s−1e1

след: v₁′ =0 m/sv₂′ =3 m/s

p =3 kg·m/s (преди и след)Eₖ:4,5 → 4,5 J

Еластичен удар: запазват се и импулсът, и кинетичната енергия.

💡 Положителната скорост е надясно. Коефициентът на възстановяване e показва каква част от скоростта на приближаване става скорост на раздалечаване. Жълтото триъгълниче е центърът на масата: ударът изобщо не променя движението му. Пробвай равни маси, e = 1 и спряла втора количка.

Пример

Кола с маса 1000 kg и скорост 20 m/s удря отзад спрял джип с маса 1500 kg и двете продължават заедно. Каква част от кинетичната енергия се губи?

$v = \frac{1000 \cdot 20}{2500} = 8\ \mathrm{m/s}$
$E_1 = 200\ \mathrm{kJ}$ , $E_2 = \frac{2500 \cdot 64}{2} = 80\ \mathrm{kJ}$
Губят се $120\ \mathrm{kJ}$ – $60\%$ от енергията отива за деформация и топлина.

При удари в равнина импулсът се запазва като вектор – поотделно по двете оси. Красиво следствие има в билярда: ако топка удари еластично (и нецентрално) неподвижна топка със същата маса, двете се разлитат под прав ъгъл. Причината е, че от $\vec{v} = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$ и $v^2 = v_1'^2 + v_2'^2$ следва за триъгълника на скоростите (виж Вектори).

5. Реактивно движение

Ракетата не се отблъсква от въздуха. Тя изхвърля назад газове с голяма скорост $u$ спрямо себе си, а по закона за запазване на импулса получава импулс напред. Ако за кратко време изхвърли маса $\Delta m$ , скоростта ѝ нараства с $\Delta v = u\frac{\Delta m}{m}$ . Всяка следваща порция гориво ускорява вече по-лека ракета. Като сумираме тези малки прирастъци (виж Интеграли), получаваме (виж Логаритми).

Формула на Циолковски (1903)

\Delta v = u \ln \frac{m_0}{m_1}

, където

m_0

е масата при старта,

m_1

– след изгарянето на горивото, а

u

– скоростта на газовете спрямо ракетата. При химичните двигатели

u

е около 2,5–4,5 km/s.

u, km/s3m₀/m₁10порции4

гориво90% от масата4 порции:4,85 km/su·ln(m₀/m₁) =6,91 km/s

Не стига за орбита: трябва m₀/m₁ ≥ 13,9 при тази скорост на газовете.

💡 Червената стълбичка: ракетата изхвърля горивото на няколко порции. Всяка порция носи импулс назад, а ракетата получава същия импулс напред. Колкото повече и по-малки са порциите, толкова по-близо сме до синята крива на Циолковски v = u·ln(m₀/m). Кривата расте все по-бавно – затова ракетите са на степени: празните резервоари се изхвърлят и вече не се ускоряват.

За кръгова орбита около Земята е нужна скорост около 7,9 km/s (виж Орбити и скорости), а със загубите от гравитацията и въздуха – около 9–10 km/s. Логаритъмът расте бавно: удвояването на горивото добавя само $u \ln 2 \approx 0{,}7u$ . Затова ракетите са многостепенни – празните резервоари се изхвърлят.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 0,25, а дробите – като 8/3.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

u = 3\ \mathrm{km/s}, \quad \frac{m_0}{m_1} = 20, \quad \ln 20 \approx 3

Ракета: $\Delta v = ?\ \mathrm{km/s}$

7. Удари около нас

0 / 6

🎱 Билярд

Бялата топка се движи с 2 m/s и удря челно друга, неподвижна топка със същата маса. Ударът е почти еластичен. С какви скорости се движат двете топки след удара?

🚣 Скок от лодка

Момче с маса 50 kg скача от неподвижна лодка с маса 100 kg към брега със скорост 3 m/s. С каква скорост ще отплава лодката назад? (Съпротивлението на водата пренебрегваме.)

⚽ Ритник

Футболна топка с маса 0,43 kg лежи на земята. След ритник тя отлита с 20 m/s, а кракът е в контакт с нея около 0,01 s. Каква е средната сила на удара?

🚗 Катастрофа

Кола с маса 1000 kg се движи с 20 m/s и се блъсква в спрял джип с маса 1500 kg. Колите се сплитат и продължават заедно. С каква скорост се движат веднага след удара и каква част от кинетичната енергия се губи?

🔫 Откат на пушка

Ловна пушка с маса 4 kg изстрелва куршум с маса 10 g със скорост 800 m/s. С каква скорост се отмята пушката назад?

🚀 Към орбита

За да стигне ниска орбита около Земята, ракетата трябва да промени скоростта си с около 9,3 km/s (заедно със загубите от гравитацията и въздуха). Газовете излитат със скорост 3 km/s. Колко пъти трябва да е по-тежка ракетата при старта, отколкото без горивото, ако е едностепенна?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Знаците на скоростите

✗ $\displaystyle p = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3$ за коли, движещи се една срещу друга

✓ избираме посока: $\displaystyle p = 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) = 3\ \mathrm{kg \cdot m/s}$

Отскачаща топка

✗ $\displaystyle \Delta p = m(v - v) = 0$

✓ $\displaystyle \Delta p = m(v - (-v)) = 2mv$ – посоката се обръща

Енергията при удар

✗ кинетичната енергия винаги се запазва

✓ запазва се само при еластичен удар; импулсът – винаги

Външни сили

✗ импулсът на падащ камък се запазва

✓ гравитацията е външна сила – запазва се импулсът на затворена система

Въздушната възглавница

✗ намалява изменението на импулса

✓ $\displaystyle \Delta p$ е същото – възглавницата удължава $\displaystyle \Delta t$ и намалява $\displaystyle F$

Ракетата във вакуум

✗ газовете се отблъскват от въздуха

✓ ракетата изхвърля газове назад и получава импулс напред – въздухът дори пречи

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Каква е единицата за импулс в SI?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Импулс $\vec{p} = m\vec{v}$ – вектор, единица $\mathrm{kg \cdot m/s}$
✓ $\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}$ ; при едно и също $\Delta p$ по-дългото време означава по-малка сила
✓ В затворена система импулсът се запазва; се
✓ При еластичен удар се запазва и кинетичната енергия; при нееластичен част от нея става топлина и деформация
✓ Нееластичен удар: $v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ ; еластичен с равни маси – размяна на скоростите
✓ Ракета: $\Delta v = u \ln \frac{m_0}{m_1}$ – затова ракетите са многостепенни

💡 Интересен факт

Сложи тенис топка върху баскетболна и ги пусни заедно. Баскетболната топка отскача от пода и веднага удря тенис топката, която все още пада. Ако ударите бяха напълно еластични, а тенис топката – много по-лека, тя би отскочила с 3 пъти по-голяма скорост и би се издигнала до 9 пъти по-високо! В действителност ударите губят енергия и височината е по-малка, но пак е изненадващо голяма. По подобен начин – чрез „“ – космическите сонди печелят скорост, когато прелитат покрай движеща се планета.