Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Праволинейно движение

⚖️ Падащият камък е твърде бърз за очите – и за часовниците от XVII век. Затова Галилео Галилей решава да „забави“ падането. В книгата си „Беседи за две нови науки“ (1638) той описва как пуска бронзово топче по гладък жлеб в наклонена дъска, дълга около 12 лакътя, а времето мери, като събира и претегля водата, изтекла от съд през тънка тръбичка. Резултатът го изненадва: пътищата, изминати през равни интервали време, се отнасят като нечетните числа 1 : 3 : 5 : 7. Това е първият закон за ускореното движение, открит с опит.

1. Положение, път и преместване

За да опишем движение, ни трябва отправна система: тяло, спрямо което мерим (пътят, перонът, Земята), ос с посока и часовник. При движение по права положението се задава с една координата xx, която може да е и отрицателна.

О

Преместване и път

Преместването е промяната на координатата: Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1. То има знак – показва и посоката. Изминатият път ss е дължината на целия изминат отрязък и никога не е отрицателен. Ако се върнеш у дома, пътят ти е няколко километра, а преместването – нула.
О

Средна скорост

Средната скорост е целият път, разделен на цялото време: vср=stv_{\text{ср}} = \frac{s}{t}. Тя обикновено НЕ е средното аритметично на скоростите.

Пример

Кола изминава 60 km с 60 km/h и после още 60 km с 40 km/h. Каква е средната ѝ скорост?

  1. t1=6060=1 ht_1 = \frac{60}{60} = 1\ \mathrm{h}, t2=6040=1,5 ht_2 = \frac{60}{40} = 1{,}5\ \mathrm{h}
  2. vср=1202,5=48 km/hv_{\text{ср}} = \frac{120}{2{,}5} = 48\ \mathrm{km/h}, а не 50 – с по-ниската скорост колата се движи по-дълго.

2. Равномерно движение

Т

Закон за равномерното движение

Ако скоростта vv е постоянна, тялото изминава равни пътища за равни интервали време и x=x0+vtx = x_0 + vt. Графиката x(t)x(t) е права с наклон vv, а v(t)v(t) е хоризонтална права. Лицето под v(t)v(t) от 0 до tt е vtvt – преместването.

Най-удобният начин да решаваме задачи за срещане и догонване е да запишем закона за движение на всяко тяло в една и съща отправна система и да приравним координатите им.

Пример

От София и от Пловдив, които са на около 150 km един от друг по магистралата, едновременно тръгват една срещу друга две коли: от София със 100 km/h, от Пловдив с 80 km/h. Кога и къде ще се срещнат?

  1. Оста е от София към Пловдив: x1=100tx_1 = 100t, x2=150−80tx_2 = 150 - 80t (в km и h).
  2. При срещата x1=x2x_1 = x_2: 100t=150−80t⇒t=150180≈0,833 h=50 min100t = 150 - 80t \Rightarrow t = \frac{150}{180} \approx 0{,}833\ \mathrm{h} = 50\ \mathrm{min}
  3. x=100⋅0,833≈83,3 kmx = 100 \cdot 0{,}833 \approx 83{,}3\ \mathrm{km} от София.

3. Ускорение и равноускорително движение

О

Ускорение

Ускорението показва колко бързо се мени скоростта: a=ΔvΔta = \frac{\Delta v}{\Delta t}, единица m/s2\mathrm{m/s^2}. Ускорение 2 m/s22\ \mathrm{m/s^2} значи, че скоростта нараства с 2 m/s2\ \mathrm{m/s} всяка секунда. Ако aa и vv имат различни знаци, тялото се забавя.
Т

Равноускорително движение (aa = const)

Скоростта е v=v0+atv = v_0 + at, координатата е x=x0+v0t+at22x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}, а без времето: v2−v02=2a(x−x0)v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0). Третата формула е удобна, когато времето не ни интересува – например за спирачен път.

Втората формула следва от графиката: лицето под правата v=v0+atv = v_0 + at е с лице v0+v2⋅t=v0t+at22\frac{v_0 + v}{2} \cdot t = v_0 t + \frac{at^2}{2}. На езика на математическия анализ скоростта е на положението, v=x′(t)v = x'(t), а ускорението – производната на скоростта (виж Производни и Интеграли).

−100−50050100x, m🚗v50−50xm10−10vm/s3−3am/s²012345t, s
t = 0 s
x =−40 mv =6 m/sa =−2 m/s²

При t = 3 s скоростта е 0 – колата спира за миг и тръгва обратно. Там графиката на x има връх.

💡 Пунктирът показва цялото движение, а плътната линия – изминалото до момента. Синята стрелка е скоростта, червената – ускорението: когато сочат в различни посоки, колата се забавя.

Пример

Кола се движи с 20 m/s и спира равнозакъснително със забавяне 5 m/s². За колко време и на какво разстояние спира?

  1. 0=20−5t⇒t=4 s0 = 20 - 5t \Rightarrow t = 4\ \mathrm{s}
  2. s=20⋅4−5⋅422=80−40=40 ms = 20 \cdot 4 - \frac{5 \cdot 4^2}{2} = 80 - 40 = 40\ \mathrm{m}
  3. Проверка с третата формула: s=v022a=40010=40 ms = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{400}{10} = 40\ \mathrm{m} ✓

4. Спирачен път и безопасност

Докато шофьорът осъзнае опасността и премести крака на спирачката, минава около секунда. През това време колата се движи с пълна скорост. Затова опасният път има две части: път на реакцията vtrvt_r и спирачен път v22a\frac{v^2}{2a}. Втората расте с квадрата на скоростта – при двойно по-висока скорост спирачният път е 4 пъти по-дълъг.

🚗🚸0102030s, m13,9v, m/s0123t, sреакцияспиране
реакция13,9 mспиране13,8 mобщо27,7 mвреме3 s

Колата спира 2,3 m преди препятствието.

💡 Докато шофьорът реагира (около 1 s, а с телефон в ръка – много повече), колата се движи с постоянна скорост. После спира с постоянно забавяне, което зависи от пътя. Лицето под графиката на скоростта е изминатият път. Пробвай 50 и 60 km/h при препятствие на 28 m.

Пример

Кола с 50 km/h едва успява да спре пред препятствие (реакция 1 s, забавяне 7 m/s²). С каква скорост ще удари същото препятствие кола, която кара с 60 km/h?

  1. При 50 km/h (13,9 m/s13{,}9\ \mathrm{m/s}): 13,9⋅1+13,9214≈27,7 m13{,}9 \cdot 1 + \frac{13{,}9^2}{14} \approx 27{,}7\ \mathrm{m} – на толкова е препятствието.
  2. При 60 km/h (16,7 m/s16{,}7\ \mathrm{m/s}) за реакцията колата изминава 16,7 m16{,}7\ \mathrm{m} и има само 11,0 m11{,}0\ \mathrm{m} за спиране.
  3. v2=16,72−2⋅7⋅11,0≈124⇒v≈11,1 m/s≈40 km/hv^2 = 16{,}7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11{,}0 \approx 124 \Rightarrow v \approx 11{,}1\ \mathrm{m/s} \approx 40\ \mathrm{km/h}
  4. Само 10 km/h повече в началото – и вместо да спре, колата удря с 40 km/h.

5. Свободно падане

Т

Свободно падане

Без съпротивление на въздуха всички тела близо до повърхността на Земята падат с едно и също ускорение g≈9,81 m/s2g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} (в задачите често 10 m/s210\ \mathrm{m/s^2}). Пуснато от покой тяло има v=gtv = gt и изминава h=gt22h = \frac{gt^2}{2}. Затова пътищата през последователни секунди се отнасят като 1:3:5:7:…1 : 3 : 5 : 7 : \ldots

Тяло, хвърлено нагоре, се движи със същото ускорение gg, насочено надолу, през цялото време – и при качването, и в най-високата точка, и при спускането. На други планети gg е различно (виж Гравитация).

Пример

Топка е хвърлена право нагоре с 20 m/s (g=10 m/s2g = 10\ \mathrm{m/s^2}). Кога спира, колко високо стига и кога се връща?

  1. 0=20−10t⇒t=2 s0 = 20 - 10t \Rightarrow t = 2\ \mathrm{s} до най-високата точка
  2. h=v022g=40020=20 mh = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20\ \mathrm{m}
  3. Движението е симетрично: обратно пада пак за 2 s, т.е. се връща след 4 s със скорост 20 m/s надолу.

Свободното падане дава и прост начин да измериш реакцията си: приятел пуска линийка между пръстите ти, а от изминатия път dd намираш времето t=2d/gt = \sqrt{2d/g}.

051015202530100 ms150 ms200 ms250 ms✋Натисни „Готов“d = gt²/2

Линийката пада свободно: за 0,1 s изминава само 4,9 cm, а за 0,2 s – вече 19,6 cm.

💡 Натисни „Готов“ и след случайно чакане линийката ще падне – натисни „Хвани!“ възможно най-бързо. От изминатия път пресмятаме времето: t = √(2d/g). На екран реакцията е малко по-бавна, отколкото с истинска линийка, защото има закъснение и от мишката и монитора. Пробвай с приятел и истинска 30-сантиметрова линийка!

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 12,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0
v0=20 m/s,g=10 m/s2v_0 = 20\ \mathrm{m/s}, \quad g = 10\ \mathrm{m/s^2}

Хвърлено право нагоре: hmax⁡=? mh_{\max} = ?\ \mathrm{m}

7. Движението около нас

0 / 6

🛣️ Пътуване по магистрала

Кола изминава 280 km. Първите 200 km кара със 140 km/h, а последните 80 km попада в задръстване и се движи с 40 km/h. Каква е средната ѝ скорост?

🛫 Излитане

Самолет тръгва от покой и се ускорява равномерно с 2,5 m/s². За да излети, му трябва скорост 75 m/s (270 km/h). След колко секунди излита и колко дълга писта му трябва?

🪨 Кладенец

Пускаш камък в кладенец и той цопва във водата след 2 s. Колко дълбок е кладенецът до водата? (g=9,8 m/s2g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}, времето за звука пренебрегваме.)

🚸 Дете на пътя

Шофьор кара с 50 km/h по сух път и вижда дете, което изтичва на пътя. Реакцията му е 1 s, а колата спира със забавяне 7 m/s². Колко метра изминава колата до пълното спиране?

⚽ Топка нагоре

Хвърляш топка право нагоре със скорост 15 m/s. Колко високо ще се издигне? (g=9,8 m/s2g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}, без съпротивление на въздуха.)

🏃 Догонване

Сестра ти е тръгнала пеша със скорост 1,5 m/s и е на 100 m пред теб. Ти тичаш след нея с 5 m/s. След колко секунди ще я настигнеш?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Средна скорост

✗ 60+402=50 km/h\displaystyle \frac{60 + 40}{2} = 50\ \mathrm{km/h}

✓ Цял път през цяло време: при равни пътища 48 km/h\displaystyle 48\ \mathrm{km/h}

Път и преместване

✗ отиване и връщане по 5 km: преместване 10 km

✓ пътят е 10 km, а преместването е 0

Знак на ускорението

✗ a<0\displaystyle a < 0 значи забавяне

✓ забавяне има, когато a\displaystyle a и v\displaystyle v са с различни знаци

Най-високата точка

✗ v=0⇒a=0\displaystyle v = 0 \Rightarrow a = 0

✓ там v=0\displaystyle v = 0, но a=g\displaystyle a = g – иначе топката би останала във въздуха

Забравена начална скорост

✗ s=at22\displaystyle s = \frac{at^2}{2} винаги

✓ s=v0t+at22\displaystyle s = v_0 t + \frac{at^2}{2}; без v0t\displaystyle v_0 t само при старт от покой

km/h във формулата

✗ s=5022⋅7≈179 m\displaystyle s = \frac{50^2}{2 \cdot 7} \approx 179\ \mathrm{m}

✓ първо 50 km/h≈13,9 m/s\displaystyle 50\ \mathrm{km/h} \approx 13{,}9\ \mathrm{m/s}: s≈13,8 m\displaystyle s \approx 13{,}8\ \mathrm{m}

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9
✓ 0

Какво показва наклонът на графиката на положението x(t)\displaystyle x(t)?

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

11. Обобщение

  • ✓ Преместването Δx\Delta x има знак, пътят – не; средната скорост е целият път през цялото време
  • ✓ Равномерно движение: x=x0+vtx = x_0 + vt; наклонът на x(t)x(t) е скоростта
  • ✓ v=v0+atv = v_0 + at, x=x0+v0t+at22x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}, v2−v02=2aΔxv^2 - v_0^2 = 2a\Delta x
  • ✓ Лицето под v(t)v(t) е преместването; наклонът на v(t)v(t) е ускорението
  • ✓ Опасен път = vtr+v22avt_r + \frac{v^2}{2a}; спирачният път расте с квадрата на скоростта
  • ✓ Свободно падане: g≈9,81 m/s2g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2} за всички тела, насочено надолу и в най-високата точка

💡 Интересен факт

На 10 декември 1954 г. американският военен лекар Джон Пол Стап се качва на ракетна шейна, ускорява до около 1017 km/h и спира за около 1,4 s. В пика забавянето му е около 46 gg – тялото му за миг „тежи“ 46 пъти повече. Стап оцелява с временни увреждания на очите, а опитите му показват, че човек може да издържи много по-големи претоварвания, отколкото се е смятало. Те помагат за въвеждането на предпазните колани в колите.