Орбити и скорости

🛰️ 4 октомври 1957 г.: малка метална топка с антени – „Спутник-1“ – обикаля Земята за 96 минути и всеки, който има радио, чува нейното „бип-бип“. За да не падне, тя се движи с почти $8\ \mathrm{km/s}$ – десетки пъти по-бързо от куршум. Откъде идва точно това число? И защо, за да догоните някого в орбита, трябва… да намалите скоростта?

1. Кръгова орбитална скорост

Спътникът по орбита непрекъснато пада към Земята, но се движи хоризонтално толкова бързо, че повърхността „бяга“ под него (топът на Нютон, виж „Гравитация“). При кръгова орбита гравитацията играе ролята на .

Кръгова (първа космическа) скорост

От

GMm / r^2 = m\cdot v^2 / r

следва

v = \sqrt{GM / r}

. На повърхността на Земята (

r = R

) това е първата космическа скорост

v_1 = \sqrt{GM / R} = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\ \mathrm{km/s}

. Периодът е

T = 2\pi r / v = 2\pi\cdot \sqrt{r^3 / GM}

– третият закон на Кеплер.

Орбити на различни височини

Колкото по-високо е спътникът, толкова по-бавно се движи и толкова по-дълго обикаля. 1 секунда на екрана = 30 минути.

Радиус на орбитата

6779 km

Орбитална скорост v = √(GM/r)

7,67 km/s

Период T = 2πr / v

1h 33m

Обиколки за денонощие

15,55

Скорост за бягство √2·v

10,84 km/s

Височина над Земята: 408 km

Познати орбити

🛰️ МКС (~408 km): $v \approx 7{,}66\ \mathrm{km/s}$ , $T \approx 92\ \mathrm{min}$
📡 GPS (20 200 km): $v \approx 3{,}87\ \mathrm{km/s}$ , $T \approx 12\ \mathrm{h}$
📺 Геостационарна (35 786 km над екватора): $v \approx 3{,}07\ \mathrm{km/s}$ , $T = 23^{\mathrm{h}}\,56^{\mathrm{m}}$ – спътникът „виси“ над една точка
🌙 Луната (384 400 km): $v \approx 1{,}02\ \mathrm{km/s}$ , $T \approx 27{,}3$ дни

2. Скорост за бягство и форма на орбитата

Каква скорост е нужна, за да напуснем Земята завинаги? Тялото трябва да има достатъчно , за да преодолее гравитационната $-\frac{GMm}{r}$ .

Скорост за бягство (втора космическа скорост)

От

\tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 - \frac{GMm}{r} = 0

следва

v_2 = \sqrt{2GM / r} = \sqrt{2} \cdot v_1

. За Земята

v_2 \approx 11{,}2\ \mathrm{km/s}

. Тя не зависи от масата на тялото и от посоката на изстрелване.

Уравнение vis-viva

Скоростта на тяло по всяка Кеплерова орбита с голяма полуос

a

на разстояние

r

от центъра е

v^2 = GM\cdot (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

. При кръгова орбита

a = r

v^2 = \frac{GM}{r}

; при парабола

a \to \infty

v^2 = \frac{2GM}{r}

Формата на орбитата зависи от скоростта

Тяло стартира хоризонтално от разстояние r₀. Променете скоростта му и вижте коничното сечение, по което ще полети.

Начална скорост: v = 1,20 · v₁

Ексцентрицитет e

0,440

Голяма полуос a

1,79 r₀

Най-близо

1,00 r₀

Най-далеч

2,57 r₀

Енергия ε = v²/2 − GM/r

< 0

Начална скорост	Енергия	Орбита	$e$
$v = v_1$	$\varepsilon < 0$	окръжност	$0$
$v_1 < v < v_2$	$\varepsilon < 0$	елипса	$0 < e < 1$
$v = v_2$	$\varepsilon = 0$	парабола	$1$
$v > v_2$	$\varepsilon > 0$	хипербола	$> 1$

Скорост за бягство от различни тела

Луна	2,4 km/s	$0{,}21 \times$ Земя
Марс	5,0 km/s	$0{,}45 \times$ Земя
Земя	11,2 km/s	1
Юпитер	59,5 km/s	$5{,}3 \times$ Земя
Слънце (от повърхността)	618 km/s	$55 \times$ Земя
Неутронна звезда	~190 000 km/s	~0,6 c

Ако $v_2$ стане равна на скоростта на светлината $c$ , нищо не може да избяга – това е (виж „Бели джуджета и черни дупки“). Радиусът ѝ е $R = 2GM / c^2$ .

3. Третата космическа скорост

За да напусне Слънчевата система, тялото трябва да избяга и от Слънцето. На разстоянието на Земята скоростта за бягство от Слънцето е $\sqrt{2} \cdot 29{,}8 \approx 42{,}1\ \mathrm{km/s}$ . Земята обаче вече ни носи с $29{,}8\ \mathrm{km/s}$ !

Пример

Колко е минималната скорост на изстрелване от Земята, за да напуснем Слънчевата система?

Изстрелваме по посоката на движение на Земята. Далеч от Земята ни трябват $42{,}1 - 29{,}8 \approx 12{,}3\ \mathrm{km/s}$ спрямо нея.
При излитането трябва да преодолеем и привличането на Земята. По закона за запазване на енергията: $v_3^2 = v_2^2 + 12{,}3^2$ .
$v_3 = \sqrt{11{,}2^2 + 12{,}3^2} \approx 16{,}6\ \mathrm{km/s}$ – третата космическа скорост.
Ако изстрелваме срещу движението на Земята, ще ни трябват над $70\ \mathrm{km/s}$ ! Посоката е от огромно значение.

4. Полети до други планети

Космическите кораби не летят „направо“ – те се движат по Кеплерови орбити около Слънцето и двигателите им работят само за кратко.

Полет до друга планета

Най-икономичният път е половин елипса, допираща двете орбити – преход на Хоман.

Голяма полуос на прехода

1,262 AU

Време за полета (½ период)

259 дни

Δv при тръгване (спрямо Земята)

2,95 km/s

Δv при пристигане

2,65 km/s

Марс трябва да е пред Земята с

44°

Ново „прозорче“ за старт на всеки

26 месеца

Орбитите са приети за кръгови и в една равнина. Δv е спрямо скоростта на Земята по орбитата ѝ, без да се отчита излитането от самата Земя.

Преход на Хоман – с на едната орбита и на другата. Нужни са само два импулса на двигателя.
Стартови прозорци – до Марс може да се полети удобно само веднъж на ~26 месеца, когато планетите са в правилно взаимно положение ().
Гравитационна прашка – при прелитане край планета корабът „открадва“ малко от орбиталната ѝ скорост. Така „Вояджър 2“ посети Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.

🤯 Парадоксът на орбиталната гонитба

Ако ускорите напред, орбитата ви става по-висока и по-дълга – и вие изоставате! За да догоните МКС пред вас, трябва да спирачите: слизате на по-ниска и по-бърза орбита, изпреварвате я и после ускорявате, за да се изравните. Така се скачват всички кораби.

5. 🎯 Бърз тест

1 / 5

✓ 0

Как се променя скоростта на спътник по кръгова орбита, ако орбитата е по-висока?

Избери отговор (или натисни 1–4)

6. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

7. Обобщение

✓ Кръгова скорост $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ ; по-високо = по-бавно
✓ Скорост за бягство $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\cdot v_1$
✓ Vis-viva: $v^2 = GM(\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
✓ Земя: $v_1 = 7{,}9\ \mathrm{km/s},\ v_2 = 11{,}2\ \mathrm{km/s},\ v_3 = 16{,}6\ \mathrm{km/s}$
✓ Окръжност ( $e = 0$ ), елипса ( $0 < e < 1$ ), ( $e = 1$ ), ( $e > 1$ )
✓ Полетите до планетите са по Кеплерови орбити – преход на Хоман

💡Интересен факт

Астронавтите на МКС виждат по 16 изгрева и залеза на ден. „Вояджър 1“, изстрелян през 1977 г., се движи с ~ $17\ \mathrm{km/s}$ спрямо Слънцето и през 2012 г. стана първият човешки апарат в междузвездното пространство. Въпреки това до най-близката звезда ще му трябват над 70 000 години.