Работа, енергия, мощност

🍺 През 1840-те години пивоварът от Манчестър Джеймс Прескот Джаул прави опит, който на пръв поглед е скучен: падащи тежести въртят лопатки в съд с вода. Водата се загрява – но само с части от градуса, и Джаул мери с изключително точни термометри. Изводът му е смел: работата и топлината са едно и също нещо – енергия, която само сменя формата си. Числото, което получава за „цената“ на една калория в механична работа, е близко до днешните 4,19 J. Разказва се, че дори на сватбеното си пътешествие той мерил температурата на водата над и под един водопад. Днес единицата за енергия носи неговото име.

1. Механична работа

В ежедневието „работа“ е всичко, от което се уморяваш. Във физиката работа има само когато сила премества тяло – и важна е само частта от силата по посока на преместването.

Работа на постоянна сила

W = Fs\cos\alpha

, където

\alpha

е ъгълът между силата и преместването. Единицата е джаул:

1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}

. При

\alpha < 90^\circ

работата е положителна, при

\alpha = 90^\circ

е нула, а при

\alpha > 90^\circ

– отрицателна (например работата на триенето).

Пример

Дете тегли шейна със сила 50 N по въже, което сключва 30° с хоризонта, и я премества на 20 m. Каква работа извършва?

$W = Fs\cos\alpha = 50 \cdot 20 \cdot \cos 30^\circ \approx 50 \cdot 20 \cdot 0{,}866 \approx 866\ \mathrm{J}$
Вертикалната част от силата само „олекотява“ шейната – тя не върши работа.

Ако силата се мени по пътя, работата е лицето под графиката $F(s)$ – точно както преместването е лицето под $v(t)$ (виж Интеграли). Така ще намерим енергията на пружината.

2. Кинетична енергия

Теорема за кинетичната енергия

Тяло с маса

m

и скорост

v

има кинетична енергия

E_k = \frac{mv^2}{2}

. Работата на всички сили, действащи на тялото, е равна на промяната на кинетичната му енергия:

W = E_{k2} - E_{k1}

Теоремата следва от (виж Закони на Нютон): $W = Fs = mas$ , а от праволинейното движение знаем, че $as = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$ . Затова расте с квадрата на скоростта – колата трябва да „изхаби“ четири пъти повече енергия.

Пример

Кола с маса 1000 kg се движи с 20 m/s. Каква е кинетичната ѝ енергия и каква средна сила на триене я спира на 40 m?

$E_k = \frac{1000 \cdot 20^2}{2} = 200\,000\ \mathrm{J} = 200\ \mathrm{kJ}$
Работата на триенето е $-F \cdot 40 = 0 - 200\,000$
$F = \frac{200\,000}{40} = 5000\ \mathrm{N}$

3. Потенциална енергия

Потенциална енергия

Тяло на височина

h

над избрано нулево ниво има потенциална енергия

E_p = mgh

– толкова работа ще извърши силата на тежестта, ако тялото падне до нулевото ниво. Деформирана пружина има

E_p = \frac{kx^2}{2}

, където

k

е коефициентът на еластичност, а

x

– деформацията.

Нулевото ниво избираме ние – значение има само разликата в потенциалната енергия. Силата на пружината расте линейно, $F = kx$ , затова работата ѝ е лицето на триъгълник: $\frac{1}{2} \cdot x \cdot kx = \frac{kx^2}{2}$ .

t = 0 s

k, N/m400x, cm10m, g100

E = kx²/2 =2 Jv =6,3 m/sh =2,04 m

Двойно по-силно свиване дава 4 пъти повече енергия – и 4 пъти по-голяма височина.

💡 Силата на пружината расте с деформацията (F = kx), затова работата ѝ е лицето на триъгълника под графиката – kx²/2. Тази енергия става кинетична (mv²/2), а после потенциална (mgh). Пренебрегваме съпротивлението на въздуха и малката височина, с която топчето се издига, докато пружината се разпуска.

Пример

Пружина с $k = 200\ \mathrm{N/m}$ е свита с 10 cm. Колко енергия е натрупана в нея?

$x = 0{,}1\ \mathrm{m}$
$E = \frac{kx^2}{2} = \frac{200 \cdot 0{,}01}{2} = 1\ \mathrm{J}$
Ако я свием двойно повече (20 cm), енергията става 4 J.

4. Закон за запазване на енергията

Запазване на механичната енергия

Ако върху тялото работят само сили като тежестта и еластичността (без триене и съпротивление), сумата

E_k + E_p

остава постоянна. Енергията само преминава от една форма в друга.

Това прави много задачи изненадващо лесни: скоростта на дъното на пързалка с височина $h$ е $v = \sqrt{2gh}$ – независимо от формата на пързалката и от масата. Със същата идея се намира и скоростта, с която ракета трябва да напусне Земята (виж Орбити и скорости).

Пример

Дете се спуска по пързалка, висока 5 m. Каква е скоростта му в долния край, ако триенето е пренебрежимо?

$mgh = \frac{mv^2}{2} \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$
$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} \approx 9{,}90\ \mathrm{m/s}$ (около 36 km/h) – затова истинските пързалки имат триене!

Триене и топлина

Силата на триене върши отрицателна работа и механичната енергия намалява. Тя не изчезва – превръща се в топлина:

Q = F_{\text{тр}} \cdot s

. Пълната енергия (механична плюс топлина и всички други форми) винаги се запазва.

t = 0 s

хълм, m24μ0v₀, m/s2

v =7 km/hEₖ =1 kJEₚ =157 kJQ =0 kJ

Без триене енергията стига – пусни и провери.

💡 Количката (500 kg) тръгва от 32 m с начална скорост v₀. Без триене сумата Eₖ + Eₚ е постоянна и количката се люлее вечно; с триене топлината расте, докато количката спре в някоя долина. Моделът е опростен – триенето е μmg cos α, без влиянието на кривината.

5. Мощност и коефициент на полезно действие

Мощност

Мощността показва колко бързо се извършва работа:

P = \frac{W}{t}

, единица ват (

1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}

). При движение с постоянна скорост

v

под действие на сила

F

P = Fv

. Метричната конска сила е

1\ \text{к.с.} \approx 735{,}5\ \mathrm{W}

Сметката за се плаща в киловатчасове: $1\ \mathrm{kWh} = 1000\ \mathrm{W} \cdot 3600\ \mathrm{s} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}$ . Конската сила е въведена от Джеймс Уат в края на XVIII век, за да сравнява парните си машини с конете, които те заменят; неговата стойност (около 746 W) е малко по-голяма от метричната.

Коефициент на полезно действие (КПД)

Никоя машина не превръща цялата получена енергия в полезна работа – част от нея става топлина.

\eta = \frac{W_{\text{пол}}}{W_{\text{изр}}} = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{изр}}} < 1

, често в проценти.

Пример

Асансьор вдига 800 kg (кабина с хора) на 30 m за 20 s. Каква полезна мощност развива? Каква мощност консумира двигателят, ако КПД е 80%?

$W = mgh = 800 \cdot 9{,}81 \cdot 30 = 235\,440\ \mathrm{J}$
$P_{\text{пол}} = \frac{235\,440}{20} \approx 11\,800\ \mathrm{W} = 11{,}8\ \mathrm{kW}$
$P_{\text{изр}} = \frac{11{,}8}{0{,}8} \approx 14{,}7\ \mathrm{kW}$

m, kg60етажи3t, s10

W = mgh =5,3 kJP = W/t =530 W=0,72 к.с.храна ≈5,1 kcal

Мощността ти стига за 8 крушки по 60 W.

💡 Един етаж е около 3 m. Работата срещу тежестта зависи само от масата и височината, а мощността – и от това колко бързо се качваш. Тялото изразходва около 4 пъти повече енергия, отколкото е механичната работа, защото мускулите имат КПД около 25%; останалото става топлина.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 0,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

W = 600\ \mathrm{J}, \quad t = 15\ \mathrm{s}

Мощност: $P = ?\ \mathrm{W}$

7. Енергията около нас

0 / 6

🎢 Влакче в увеселителен парк

Количка на влакче тръгва почти от покой от височина 40 m. Каква е скоростта ѝ в най-ниската точка (на нивото на земята), ако пренебрегнем триенето? Дай отговора в km/h.

⛷️ Скиор

Скиор с маса 70 kg слиза по писта с денивелация 100 m. В долния край скоростта му е 20 m/s. Колко енергия се е превърнала в топлина (триене в снега и съпротивление на въздуха)? Дай отговора в kJ.

🏋️ Щанга

Щангист вдига щанга от 100 kg на височина 2 m. Каква работа извършва срещу силата на тежестта?

🚴 Колоездач

Колоездач развива мощност 250 W и се движи с постоянна скорост 10 m/s (36 km/h). Колко е съпротивителната сила (основно на въздуха)?

🍫 Шоколад и стълби

В 100 g шоколад има около 530 kcal (1 kcal = 4184 J). Колко MJ е това? Колко етажа по 3 m може да изкачи човек с маса 60 kg с тази енергия, ако мускулите превръщат в работа 25% от нея?

💡 LED вместо крушка

Сменяш крушка от 60 W с LED лампа от 10 W, която свети също толкова ярко. Лампата свети по 5 часа на ден. Колко kWh спестяваш за година и колко евро, ако 1 kWh струва 0,14 €?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Работа без преместване

✗ държа тежка чанта неподвижно – върша работа

✓ механичната работа е 0, защото $\displaystyle s = 0$ (уморяват се мускулите)

Ъгълът във формулата

✗ $\displaystyle W = Fs\sin\alpha$

✓ $\displaystyle W = Fs\cos\alpha$ , $\displaystyle \alpha$ е между силата и преместването

Кинетичната енергия

✗ $\displaystyle E_k = mv^2$

✓ $\displaystyle E_k = \frac{mv^2}{2}$ – и расте с квадрата на скоростта

Енергия на пружината

✗ $\displaystyle E = kx$

✓ $\displaystyle E = \frac{kx^2}{2}$ ; $\displaystyle kx$ е силата

Мощност и енергия

✗ чайникът консумира 2000 W ток

✓ мощността е 2000 W, а енергията за 3 min е $\displaystyle 2\ \mathrm{kW} \cdot 0{,}05\ \mathrm{h} = 0{,}1\ \mathrm{kWh}$

Триенето „унищожава“ енергия

✗ при триене енергията изчезва

✓ механичната енергия става топлина; пълната енергия се запазва

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Коя е единицата за работа и енергия в SI?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Работа: $W = Fs\cos\alpha$ ; при променлива сила – лицето под $F(s)$
✓ $E_k = \frac{mv^2}{2}$ ; работата на всички сили е промяната на кинетичната енергия
✓ $E_p = mgh$ (тежест) и $E_p = \frac{kx^2}{2}$ (пружина)
✓ Без $E_k + E_p = \text{const}$ ; с триене част от енергията става топлина $Q = F_{\text{тр}}s$
✓ Мощност $P = \frac{W}{t} = Fv$ ; $1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}$ ; $1\ \text{к.с.} \approx 735{,}5\ \mathrm{W}$
✓ КПД $\eta = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{изр}}} < 1$

💡 Интересен факт

Ако един възрастен човек приема около 2000 kcal на ден, това са около 8,4 MJ, разпределени в 86 400 секунди – средно около 100 W. Тоест в покой ти „светиш“ с мощността на стара крушка, само че в инфрачервено. Затова в пълна зала за концерти става толкова топло: хиляда души отделят около 100 kW топлина – колкото няколко десетки печки.