Атомът — урок по физика

1. Опитът на Ръдърфорд

През 1897 г. Джоузеф Томсън открива електрона – отрицателна частица, около 1836 пъти по-лека от водородния атом. Щом атомът е неутрален, в него трябва да има и положителен . Томсън предлага модела на „сливовия пудинг“: положително заредена сфера с размер на атома, в която са пръснати електроните. В такъв атом е слабо навсякъде и тежките, бързи α-частици (ядра на хелия, заряд $+2e$ ) би трябвало да се отклоняват най-много с части от градуса.

Ханс Гайгер и Ърнест Марсдън обаче откриват, че някои частици се връщат назад – при техния опит с платинено фолио около една на 8000. През 1911 г. Ръдърфорд обяснява резултатите: целият положителен заряд и почти цялата маса на атома са събрани в мъничко ядро, а електроните са далеч около него. Частица, която мине близо до ядрото, усеща огромна (виж Електростатика) и може да отскочи назад.

Т

Най-малко разстояние при челен удар

α-частица с кинетична енергия

E_k

лети право към ядро със заряд

Ze

. Тя спира, когато цялата ѝ енергия стане потенциална:

E_k = \frac{k \cdot 2e \cdot Ze}{d}

, т.е.

d = \frac{2Zke^2}{E_k}

. Удобно е

ke^2 \approx 1{,}44\ \mathrm{MeV \cdot fm}

, където

1\ \mathrm{fm} = 10^{-15}\ \mathrm{m}

. Ядрото е по-малко от

d

– иначе частицата би го „докоснала“.

Пример

α-частиците от радиоактивния източник на Гайгер и Марсдън имат до около 7,7 MeV. Колко близо до ядро на златото (Z = 79) могат да стигнат?

$d = \frac{2 \cdot 79 \cdot 1{,}44\ \mathrm{MeV \cdot fm}}{7{,}7\ \mathrm{MeV}} \approx 29{,}5\ \mathrm{fm} \approx 3 \cdot 10^{-14}\ \mathrm{m}$
Атомът на златото е с радиус около $1{,}4 \cdot 10^{-10}\ \mathrm{m}$ – почти 5000 пъти повече. Ядрото е още по-малко: днес знаем, че радиусът му е около 7 fm.

E, MeV5b, fm10

d =45,5 fmθ =132,5°r_min =47,6 fmR_ядро + R_α ≈8,9 fm

Отклонение над 90° имат само частиците с b < d/2 = 22,8 fm. Атомът е десетки хиляди пъти по-голям от ядрото – повечето частици минават далеч от ядрото.

💡 Сивите линии са сноп α-частици с различни прицелни параметри b – разстоянието, на което частицата би подминала ядрото, ако то не я отблъскваше. Синята е избраната частица, пунктирът – най-близкото ѝ разстояние до ядрото. Пробвай b = 0 (челен удар) и по-ниска енергия. При алуминия и висока енергия частиците стигат до ядрото – така по-късно е оценен размерът на ядрата.

Т

Ъгъл на разсейване (за олимпиадите)

Траекторията на α-частицата е хипербола. Ако без отблъскването тя би подминала ядрото на разстояние

b

(прицелен параметър), ъгълът на отклонение

\theta

се намира от

\operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{d}{2b}

. Колкото по-близо минава, толкова повече се отклонява; на повече от 90° се отклоняват частиците с

b < \frac{d}{2}

.

2. Планетарният модел и неговият проблем

Най-простата картина е като Слънчевата система: електроните обикалят около ядрото, а ролята на гравитацията играе кулоновото привличане. Но тук класическата физика се проваля. Електрон, който обикаля по окръжност, има , а ускорен заряд излъчва (виж Променлив ток и ЕМ вълни). Той би губил енергия и би паднал по спирала в ядрото – по пресмятане за около $10^{-11}\ \mathrm{s}$ . Освен това би излъчвал непрекъснат , а нагретите газове светят само с отделни спектрални линии (виж урока Светлина и спектри). Атомите очевидно са устойчиви – значи нещо в класическата картина е грешно.

3. Моделът на Бор

През 1913 г. Нилс Бор, който работи при Ръдърфорд, предлага смело решение. Той не обяснява защо, а постулира как се държи атомът – и проверява следствията с опита.

О

Постулати на Бор

1) Електронът се движи само по определени (стационарни) орбити и докато е на тях, не излъчва. 2) Позволени са орбитите, на които моментът на импулса е кратен на

\hbar = \frac{h}{2\pi}

:

mvr = n\hbar

,

n = 1, 2, 3, \ldots

3) При преход от орбита с енергия

E_m

към орбита с по-ниска енергия

E_n

атомът излъчва фотон с

hf = E_m - E_n

; при поглъщане е обратно.

Да пресметнем орбитите. Кулоновата сила е центростремителна (виж Въртене): $\frac{mv^2}{r} = \frac{ke^2}{r^2}$ . Заедно с $mvr = n\hbar$ това дава скоростта $v_n = \frac{ke^2}{n\hbar}$ и радиуса. Пълната енергия е кинетичната плюс потенциалната: $E = \frac{mv^2}{2} - \frac{ke^2}{r} = -\frac{ke^2}{2r}$ – отрицателна, защото електронът е свързан.

Т

Орбити и енергии във водорода

r_n = n^2 a_0

, където

a_0 = \frac{\hbar^2}{mke^2} \approx 0{,}053\ \mathrm{nm}

е радиусът на Бор;

E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2}

. За йон с един електрон и заряд на ядрото

Ze

(He⁺, Li²⁺):

r_n = \frac{n^2 a_0}{Z}

,

E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV} \cdot Z^2}{n^2}

.

n	Eₙ, eV	rₙ, nm
1	−13,6	0,053
2	−3,40	0,212
3	−1,51	0,476
4	−0,85	0,847
∞	0	–

Пример

С каква скорост се движи електронът в основното състояние на водорода?

$v_1 = \frac{ke^2}{\hbar} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{1{,}055 \cdot 10^{-34}} \approx 2{,}19 \cdot 10^6\ \mathrm{m/s}$
Това е около $\frac{c}{137}$ – достатъчно малко, за да не се налага теорията на относителността.

Основно състояние е $n = 1$ – най-ниската енергия. Енергия на йонизация е енергията, която откъсва електрона: за водорода от основно състояние тя е 13,6 eV. е енергията, която получава електрон, ускорен с 1 V: $1\ \mathrm{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$ .

4. Излъчване и поглъщане на светлина

Когато електронът премине от по-високо ниво $m$ на по-ниско $n$ , атомът излъчва един с енергия $hf = E_m - E_n$ . Понеже нивата са определени, определени са и – затова спектърът е линеен. Подробно сериите на водорода (Лайман, Балмер, Пашен) и спектралният анализ на звездите са разгледани в урока Светлина и спектри.

Т

Енергия и дължина на вълната на фотона

\lambda = \frac{hc}{\Delta E}

. Удобно е

hc \approx 1240\ \mathrm{eV \cdot nm}

, т.е.

\lambda[\mathrm{nm}] \approx \frac{1240}{\Delta E[\mathrm{eV}]}

. Видимата светлина (380–750 nm) отговаря на фотони от около 1,65 до 3,3 eV.

Пример

Каква е дължината на вълната при прехода 3 → 2 във водорода?

$\Delta E = 13{,}6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) \approx 1{,}89\ \mathrm{eV}$
$\lambda \approx \frac{1240}{1{,}89} \approx 656\ \mathrm{nm}$ – червената линия Hα, която оцветява мъглявините в розово-червено.

Премести електрона на ниво:

E₃ =−1,51 eV

Избери ново ниво: към по-ниско атомът излъчва фотон, към по-високо – трябва да погълне фотон с точно тази енергия.

💡 Вляво са енергиите на нивата, вдясно – орбитите на Бор (радиусите растат като n²; при He⁺ са два пъти по-малки). Видимите линии на водорода са само четири – преходите към n = 2 от n = 3, 4, 5, 6. Сравни ги с линиите на He⁺: енергиите му са Z² = 4 пъти по-големи.

Поглъщането е огледално: атомът поема фотон само ако енергията му е точно равна на разликата между две нива. Затова студен газ пред ярък източник „изрязва“ тъмни линии от спектъра. Изключение е йонизацията: всеки фотон с повече от 13,6 eV може да откъсне електрона от основно състояние, а излишъкът става . Ако атоми са възбудени до ниво $n$ , те могат да се върнат по различни пътища; всяка двойка нива дава линия, затова броят на възможните линии е $\frac{n(n - 1)}{2}$ .

5. Опитът на Франк и Херц

Спектрите показват нивата чрез светлината. През 1914 г. Джеймс Франк и Густав Херц ги „опипват“ с електрони. В тръба с живачни пари електроните се ускоряват с $U$ и се удрят в атомите. Докато енергията им е под 4,9 eV, ударите са еластични: лекият електрон отскача, без да губи енергия. Стигне ли 4,9 eV, той може да възбуди атома и да му предаде точно тази енергия. през колектора пада рязко на всеки 4,9 V.

U, V12

удари:2E пред G =2,2 eVI ≈24 %

Електронът е възбудил 2 атома и пак има достатъчно енергия да преодолее спирачното поле – токът расте.

💡 Горе е тръбата: електроните излизат от катода K и се ускоряват до решетката G, а между G и колектора A има малко спирачно напрежение. В средата е енергията на електрона по пътя: при 4,9 eV той възбужда атом и губи цялата натрупана енергия. Там газът свети (при живака – в ултравиолетовото, 254 nm, затова зоните са невидими). Долу е токът: спадовете се повтарят през 4,9 V. Моделът е идеализиран – в истинската тръба кривата е изместена с контактната потенциална разлика.

Пример

Възбуденият живачен атом се връща в основно състояние. Каква е дължината на вълната на излъчения фотон?

$\lambda \approx \frac{1240}{4{,}9} \approx 253\ \mathrm{nm}$
Франк и Херц наистина откриват, че парите излъчват ултравиолетовата линия на живака 254 nm – енергията, взета от електрона, се връща като фотон.

За разлика от фотона, електронът може да предаде само част от енергията си – останалата той запазва. Затова с електронен удар се възбуждат атоми при всяка енергия над прага, а с фотони – само при точни енергии. Франк и Херц получават Нобелова награда през 1925 г.

6. Лазерът

Възбуденият атом обикновено се връща в основно състояние сам след около $10^{-8}\ \mathrm{s}$ – това е спонтанно излъчване, в произволна посока и момент. През 1917 г. Айнщайн показва, че има и стимулирано излъчване: фотон с подходяща енергия, който мине покрай възбуден атом, го кара да излъчи втори фотон, напълно еднакъв с първия – със същата честота, посока и фаза. Двата стават четири, осем… – светлината се усилва.

О

Инверсна заселеност

Обикновено повечето атоми са на по-ниското ниво и поглъщат фотоните, преди те да се размножат. Усилване има само ако на горното ниво има повече атоми, отколкото на долното – инверсна заселеност. Постига се с „изпомпване“ (светлина, ток) към ниво, от което атомите бързо падат на метастабилно ниво с дълъг живот (при рубина – милисекунди).

Средата е между две огледала, едното от които пропуска малко светлина. Фотоните минават напред-назад и се усилват; излиза тесен, почти едноцветен и кохерентен сноп (виж Вълнова оптика). LASER е съкращение от „усилване на светлината чрез стимулирано излъчване“. Първият лазер е рубиненият на Теодор Мейман (1960 г., 694 nm); хелий-неоновият свети при 632,8 nm, а полупроводниковите лазери са в показалките, четците на баркод и оптичните мрежи.

Пример

Хелий-неонов лазер (632,8 nm) има мощност 1 mW. Каква енергия има един фотон?

$E = \frac{1240}{632{,}8} \approx 1{,}96\ \mathrm{eV} \approx 3{,}14 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$
За секунда излизат $\frac{10^{-3}}{3{,}14 \cdot 10^{-19}} \approx 3{,}2 \cdot 10^{15}$ фотона.

7. Отвъд модела на Бор

Моделът на Бор дава точно енергиите на водорода и на с един електрон, но не и на атомите с повече електрони, нито яркостта на линиите. Луи (1924 г.) дава просто обяснение на правилото $mvr = n\hbar$ : ако електронът е вълна с $\lambda = \frac{h}{mv}$ , на орбитата трябва да се събират цял брой дължини на вълната, $2\pi r = n\lambda$ – като на струна (виж Фотони и фотоефект). Квантовата механика (Шрьодингер, Хайзенберг, 1925–1926 г.) отива по-далеч: електронът няма определена орбита, а само вероятност да бъде намерен на дадено място – „електронен облак“ (). Енергиите на водорода обаче остават същите като при Бор.

8. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 3,4; отрицателните – със знак минус.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\text{атоми, възбудени до}\ n = 3

Брой различни спектрални линии при връщането: $N = ?$

9. Атомите около нас

0 / 5

🔴 Лазерна показалка

Червена лазерна показалка свети с дължина на вълната 650 nm и мощност 1 mW. Колко фотона излъчва за секунда?

💡 Луминесцентна лампа

Живачните пари в луминесцентната лампа излъчват главно ултравиолетова светлина с 254 nm. Луминофорът по стените я поглъща и свети във видимата област, например при 550 nm. Каква е енергията на фотона преди и след луминофора?

🧪 Спектрална тръба

В тръба с водород в основно състояние електрони се ускоряват с напрежение U. Какво е най-малкото U, при което ще се появи червената линия Hα (преход 3 → 2)?

⚛️ Атом колкото квартал

Диаметърът на протона е около 1,7 fm, а на водородния атом в основно състояние – около 0,106 nm. Ако протонът се увеличи до топче с диаметър 1 cm, колко голям ще е атомът?

🌠 Зеленото полярно сияние

Зеленият цвят на полярните сияния идва от линия на кислорода с дължина на вълната 557,7 nm. Колко е разликата между енергиите на двете нива на атома?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. ⚠️ Чести грешки

Положителна енергия

✗ $\displaystyle E_2 = +3{,}4\ \mathrm{eV}$

✓ свързаният електрон има $\displaystyle E_n < 0$ ; $\displaystyle E = 0$ е свободен електрон в покой

Радиусът расте като n

✗ $\displaystyle r_3 = 3a_0$

✓ $\displaystyle r_n = n^2 a_0$ , т.е. $\displaystyle r_3 = 9a_0$

Дължина на вълната от ниво

✗ $\displaystyle \lambda = \frac{1240}{E_3}$

✓ фотонът носи разликата: $\displaystyle \lambda = \frac{1240}{E_3 - E_2}$

Атомът поглъща всеки фотон

✗ фотон 5 eV възбужда водорода

✓ само ако $\displaystyle hf$ е точно разлика между нива (или над енергията на йонизация)

Йон с Z = 2

✗ $\displaystyle E_1(\mathrm{He^+}) = 2 \cdot (-13{,}6)\ \mathrm{eV}$

✓ енергията расте като $\displaystyle Z^2$ : $\displaystyle E_1 = -54{,}4\ \mathrm{eV}$

Брой линии

✗ от $\displaystyle n = 4$ има 3 линии

✓ всяка двойка нива: $\displaystyle \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ линии

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Какво показа опитът на Гайгер и Марсдън с α-частици и златно фолио?

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ Опитът на Ръдърфорд: зарядът и масата на атома са в ядро, десетки хиляди пъти по-малко от атома; при челен удар $d = \frac{2Zke^2}{E_k}$
✓ Класическият планетарен модел е неустойчив – затова Бор постулира стационарни орбити и $mvr = n\hbar$
✓ Водород: $r_n = n^2 a_0$ , $a_0 \approx 0{,}053\ \mathrm{nm}$ ; $E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2}$ ; за йон с един електрон – по $Z^2$
✓ Фотон при преход: $hf = E_m - E_n$ , $\lambda[\mathrm{nm}] \approx \frac{1240}{\Delta E[\mathrm{eV}]}$ ; от ниво $n$ – до $\frac{n(n - 1)}{2}$ линии
✓ Франк и Херц: електроните губят енергия на порции от 4,9 eV в живачни пари – нивата съществуват
✓ Лазер: стимулирано излъчване + инверсна заселеност + огледала → кохерентен едноцветен сноп

💡 Интересен факт

Атомите могат да бъдат огромни. При $n = 100$ орбитата на Бор има радиус $10^4 a_0 \approx 0{,}5\ \mu\mathrm{m}$ – колкото малка . Такива „ридбергови атоми“ се разрушават от най-слабия удар, но в разредения междузвезден газ оцеляват. Радиотелескопите улавят от мъглявините линии от преходи между такива нива – например линията на водорода при прехода 110 → 109 е с честота около 5 GHz ( около 6 cm).