Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Термодинамика

🔥 През 1824 г. млад френски инженер, Сади Карно, издава малка книжка, „Размишления върху движещата сила на огъня“. Парните машини вече движат фабрики, но никой не знае колко работа може да се получи от едно количество въглища. Карно разбира нещо дълбоко: работа се получава само когато топлината „пада“ от горещо към студено тяло – като вода, която върти воденично колело. Книжката остава почти незабелязана, а Карно умира от холера през 1832 г., едва на 36 години. Десетилетия по-късно Клаузиус и Келвин градят върху идеите му втория принцип на термодинамиката – закона, който казва защо времето тече само напред.

1. Вътрешна енергия и работа на газа

Молекулите на газа се движат хаотично (виж Идеален газ). Сборът от техните енергии е вътрешната енергия UU. При молекулите не си взаимодействат, така че UU зависи само от температурата.

О

Вътрешна енергия на идеален газ

За едноатомен газ (хелий, неон, аргон) U=32nRT=32pVU = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV. За двуатомен газ (въздух) при стайна температура U≈52nRTU \approx \frac{5}{2}nRT – молекулите се и въртят. Изменението ΔU\Delta U зависи само от началната и крайната температура, а не от пътя.
Т

Работа на газа

Когато газът се разширява с ΔV\Delta V при постоянно налягане pp, той бута буталото и извършва работа W=pΔVW = p\Delta V. В общия случай работата е лицето под кривата на процеса в p–V диаграмата. При разширение W>0W > 0, при свиване W<0W < 0 – тогава работа се извършва ВЪРХУ газа.

Лицето под кривата е : W=∫V1V2p dVW = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV (виж Интеграли). Точно както пътят е лицето под графиката на скоростта.

Пример

2 mol хелий се затоплят от 300 K до 400 K. С колко се променя вътрешната им енергия?

  1. ΔU=32nRΔT=1,5⋅2⋅8,31⋅100≈2490 J\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = 1{,}5 \cdot 2 \cdot 8{,}31 \cdot 100 \approx 2490\ \mathrm{J}

Пример

Газ с налягане 2⋅105 Pa2 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa} се разширява изобарно от 3 L до 8 L. Каква работа извършва?

  1. ΔV=5 L=5⋅10−3 m3\Delta V = 5\ \mathrm{L} = 5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}
  2. W=pΔV=2⋅105⋅5⋅10−3=1000 JW = p\Delta V = 2 \cdot 10^5 \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 1000\ \mathrm{J}

2. Първи принцип на термодинамиката

Вътрешната енергия на газа може да се промени по два начина: чрез топлина (енергия, която минава сама от по-топлото към по-студеното тяло – виж Температура и топлина) и чрез работа. Това е (виж Работа, енергия, мощност), разширен за топлината.

Т

Първи принцип

Q=ΔU+WQ = \Delta U + W: топлината, получена от газа, отива за увеличаване на вътрешната му енергия и за работата, която газът извършва. Знаци: Q>0Q > 0 – газът получава топлина, Q<0Q < 0 – отдава; W>0W > 0 – газът се разширява и извършва работа, W<0W < 0 – газът е свит, работа се извършва върху него.

Пример

Газ получава 500 J топлина и извършва 200 J работа. С колко се променя вътрешната му енергия?

  1. ΔU=Q−W=500−200=300 J\Delta U = Q - W = 500 - 200 = 300\ \mathrm{J} – газът се затопля.

Пример

Газ е свит, като върху него е извършена работа 400 J, а през това време той отдава 150 J топлина. Как се променя UU?

  1. W=−400 JW = -400\ \mathrm{J} (работа върху газа), Q=−150 JQ = -150\ \mathrm{J} (отдадена топлина)
  2. ΔU=Q−W=−150+400=250 J\Delta U = Q - W = -150 + 400 = 250\ \mathrm{J} – газът се затопля, въпреки че отдава топлина.

3. Процеси в идеален газ

В задачите обикновено една от величините се пази постоянна. Ето как изглежда първият принцип за едноатомен газ във всеки от четирите основни процеса:

ПроцесУсловиеWWΔU\Delta UТоплина
изохоренV=constV = \text{const}0032nRΔT\frac{3}{2}nR\Delta TQ=ΔUQ = \Delta U
изобаренp=constp = \text{const}pΔVp\Delta V32nRΔT\frac{3}{2}nR\Delta TQ=52nRΔTQ = \frac{5}{2}nR\Delta T
изотерменT=constT = \text{const}nRTln⁡V2V1nRT\ln\frac{V_2}{V_1}00Q=WQ = W
адиабатенpVγ=constpV^{\gamma} = \text{const}−ΔU-\Delta U32nRΔT\frac{3}{2}nR\Delta TQ=0Q = 0

Пример

1 mol газ при 300 K се разширява изотермно до двойно по-голям обем. Колко топлина получава?

  1. ΔU=0\Delta U = 0, значи Q=W=nRTln⁡V2V1Q = W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}
  2. Q=1⋅8,31⋅300⋅ln⁡2≈1730 JQ = 1 \cdot 8{,}31 \cdot 300 \cdot \ln 2 \approx 1730\ \mathrm{J} – цялата топлина става работа, но само докато газът се разширява.

При адиабатен процес няма топлообмен – той е толкова бърз или газът е толкова добре изолиран, че топлината не успява да мине. Тогава pVγ=constpV^{\gamma} = \text{const}, където γ=53\gamma = \frac{5}{3} за едноатомен газ и γ≈1,4\gamma \approx 1{,}4 за въздух, а за температурата TVγ−1=constTV^{\gamma - 1} = \text{const}. При свиване газът се затопля – затова помпата за колело става топла.

Пример

В дизелов двигател въздух с температура 27 °C се свива бързо 20 пъти (γ=1,4\gamma = 1{,}4). До каква температура се нагрява?

  1. T2=T1(V1V2)γ−1=300⋅200,4T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1} = 300 \cdot 20^{0{,}4}
  2. 200,4≈3,3120^{0{,}4} \approx 3{,}31, значи T2≈994 K≈721 ∘CT_2 \approx 994\ \mathrm{K} \approx 721\ ^{\circ}\mathrm{C}
  3. Това е много над температурата, при която дизеловото гориво се самозапалва – затова дизеловите двигатели нямат запалителни свещи.

4. Топлинни двигатели и цикълът на Карно

Двигателят трябва да работи многократно, затова газът минава през кръгов процес (цикъл) и се връща в началното си състояние. За цял цикъл ΔU=0\Delta U = 0, а полезната работа е лицето, оградено от цикъла в p–V диаграмата.

Т

Топлинен двигател

Двигателят получава топлина Q1Q_1 от нагревател (горивото, парата), извършва работа WW и отдава топлина Q2Q_2 на хладилник (околния въздух, реката): Q1=W+Q2Q_1 = W + Q_2. Коефициентът на полезно действие е η=WQ1=1−Q2Q1\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.
024675150225300p, kPaV, LABCDT = 200 KA→B: изохоренгазът получава топлина
етапQ, JW, JΔU, J
A→B изохорен6000600
B→C изобарен300012001800
C→D изохорен−18000−1800
D→A изобарен−1000−400−600
цикъл8008000

Полезна работа 800 J от получени 3600 J: η = 22,2%, а цикъл на Карно между същите крайни температури би дал 88,9%.

💡 Газът е едноатомен идеален газ (U = 3pV/2). Червените етапи получават топлина, сините отдават. За цял цикъл ΔU = 0, така че полезната работа е равна на нетната топлина – и на зеленото лице в цикъла. W е работата, извършена ОТ газа: при разширение е положителна, при свиване – отрицателна. Цветът на газа в цилиндъра показва температурата.

Т

Теорема на Карно

Никой двигател, работещ между нагревател с температура T1T_1 и хладилник с температура T2T_2, не може да има по-голям КПД от ηmax⁡=1−T2T1\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}. Температурите са в келвини! Тази граница се постига само от идеалния цикъл на Карно (две изотерми и две адиабати), извършван безкрайно бавно.

Пример

Парата в ТЕЦ влиза в турбината при 550 °C, а кондензаторът е при 30 °C. Какъв е най-големият възможен КПД?

  1. T1=823 KT_1 = 823\ \mathrm{K}, T2=303 KT_2 = 303\ \mathrm{K}
  2. ηmax⁡=1−303823≈0,632=63,2%\eta_{\max} = 1 - \frac{303}{823} \approx 0{,}632 = 63{,}2\%
  3. Истинските централи постигат обикновено около 35–45% – има триене, загуби на топлина и процесите не са безкрайно бавни.
Q₁ = 100%от 550 °CW = 41,1%граница на Карно 63,2%Q₂ = 58,9%към 30 °C
η Карно =63,2%η =41,1%от 1000 J:W = 411 JQ₂ =589 J

η_max = 1 − T₂/T₁ = 1 − 303 K / 823 K. Температурите са в келвини!

💡 „Качество“ е каква част от границата на Карно постига истинската машина (триене, загуби на топлина, бързи процеси). Стойностите в бутоните са груби ориентири. Дори идеалната машина не превръща цялата топлина в работа – част винаги отива в по-студеното тяло.

Автомобилните двигатели превръщат в работа приблизително 25–35% от енергията на горивото, а най-добрите централи с газова и парна турбина (комбиниран цикъл) – около 60%. Затова печелим, ако повишим температурата на нагревателя или използваме „отпадната“ топлина за отопление.

5. Хладилници и термопомпи

Топлината сама тече само от топло към студено. За да я накараме да тече обратно, трябва да извършим работа – това правят хладилникът, климатикът и термопомпата. Те са топлинен двигател, пуснат наобратно.

Т

Хладилник и термопомпа

С работа WW машината взема топлина Q2Q_2 от студеното тяло и отдава Q1=Q2+WQ_1 = Q_2 + W на топлото. За термопомпа ни интересува топлината навътре: COP=Q1W≤T1T1−T2\mathrm{COP} = \frac{Q_1}{W} \le \frac{T_1}{T_1 - T_2}. За хладилник – изнесената топлина: Q2W≤T2T1−T2\frac{Q_2}{W} \le \frac{T_2}{T_1 - T_2}.

Пример

Колко е най-големият възможен COP на термопомпа, която топли стая до 21 °C, когато навън е 0 °C?

  1. T1=294 KT_1 = 294\ \mathrm{K}, T2=273 KT_2 = 273\ \mathrm{K}
  2. COPmax⁡=294294−273=29421=14\mathrm{COP}_{\max} = \frac{294}{294 - 273} = \frac{294}{21} = 14
  3. Истинските термопомпи постигат около 3–4: от 1 kWh ток в къщата влизат 3–4 kWh топлина.
навън0 °Cтермопомпавкъщи21 °CQ₂ = 6,2 kW⚡ W = 2,2 kWQ₁ = 8,4 kWток за едно денонощие:нагревател201,6 kWh · 30,24 €термопомпа52,3 kWh · 7,85 €идеална (Карно)14,4 kWh · 2,16 €
нужни8,4 kWCOP помпа ≈3,9COP Карно =14за 30 дни907 € → 236 €

Термопомпата не „прави“ топлина от тока – тя пренася 6,2 kW отвън и добавя 2,2 kW работа. Колкото по-студено е навън, толкова по-малък е COP.

💡 T₂ е температурата навън. Примерна къща губи 0,4 kW за всеки градус разлика между вътре и вън. COP = Q₁/W показва колко топлина влиза вкъщи за единица ток. Моделът на истинската помпа е груб: около половината от границата на Карно при вода за подово отопление 35 °C. Цената на тока избери сам.

6. Втори принцип и ентропия

Т

Втори принцип на термодинамиката

Клаузиус: топлината не може сама (без работа) да премине от по-студено към по-топло тяло. Келвин: невъзможно е машина с един-единствен топлинен резервоар да превръща цялата получена топлина в работа. Двете формулировки са еквивалентни – ако едната бъде нарушена, и другата ще бъде.

Перпетуум мобиле от първи род – машина, която дава работа от нищо – нарушава първия принцип. От втори род – която например кара кораб само с топлината на океана, като го охлажда – не нарушава запазването на енергията, но е забранена от втория принцип.

О

Ентропия

Когато тяло получи топлина QQ при температура TT, ентропията му нараства с ΔS=QT\Delta S = \frac{Q}{T} (единица J/K). Ентропията е мярка за безпорядъка – за броя на начините, по които могат да са подредени молекулите. Ентропията на изолирана система не намалява.

Затова счупената чаша не се сглобява сама, а капка мастило се разтваря във водата, но никога не се събира обратно. Растежът на ентропията задава посоката на времето: физичните закони за отделните молекули работят и напред, и назад, но милиардите молекули почти винаги отиват към по-безпорядъчни състояния.

Пример

1 J топлина минава от тяло с 400 K към тяло с 300 K. Как се променя общата ентропия?

  1. Топлото тяло губи 1400=0,0025 J/K\frac{1}{400} = 0{,}0025\ \mathrm{J/K}, а студеното печели 1300≈0,0033 J/K\frac{1}{300} \approx 0{,}0033\ \mathrm{J/K}.
  2. Общо ΔS≈+0,0008 J/K>0\Delta S \approx +0{,}0008\ \mathrm{J/K} > 0 – затова топлината тече само от топло към студено.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 12,5, а – в проценти (без знака %).

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0
t1=327 ∘C,t2=27 ∘Ct_1 = 327\ ^{\circ}\mathrm{C}, \quad t_2 = 27\ ^{\circ}\mathrm{C}

Двигател на Карно. ηmax⁡=? %\eta_{\max} = ?\ \%

8. Термодинамиката около нас

0 / 6

🚲 Помпа за велосипед

При едно бързо натискане правиш 60 J работа върху въздуха в помпата, а топлообменът със стените е пренебрежим. С колко се увеличава вътрешната енергия на въздуха? С колко градуса се затопля, ако в помпата има 0,02 mol въздух (U=52nRTU = \frac{5}{2}nRT за двуатомен газ, R=8,31R = 8{,}31)?

🚗 Мощност на двигателя

Кола харчи 6 L бензин на 100 km при скорост 90 km/h. При изгарянето на 1 L бензин се отделят около 32 MJ, а КПД на двигателя е 30%. Каква механична мощност развива двигателят?

🏭 Електроцентрала

Топлоелектрическа централа дава 1000 MW електрическа мощност при КПД 40%. Колко топлина за секунда отдава на околната среда (на охладителните кули или на реката)?

🏠 Термопомпа или печка

Къща има нужда от 10 kW топлина в продължение на 10 часа. Колко струва токът за това с термопомпа с COP = 4 и с електрическа печка, ако 1 kWh струва 0,25 €?

🧊 Хладилник

За всеки 100 J електрическа работа хладилникът изнася 300 J топлина от камерата. Колко топлина отдава в кухнята? Колко е хладилният му коефициент Q2W\frac{Q_2}{W}?

❄️ Ентропия на разтопен лед

1 kg лед се топи при 0 °C. Специфичната топлина на топене е 334 kJ/kg. С колко се увеличава ентропията му?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Градуси вместо келвини

✗ η=1−27327≈92%\displaystyle \eta = 1 - \frac{27}{327} \approx 92\%

✓ η=1−300600=50%\displaystyle \eta = 1 - \frac{300}{600} = 50\% – само в келвини

Знакът на работата

✗ при свиване W>0\displaystyle W > 0

✓ W\displaystyle W е работата НА газа: при свиване W<0\displaystyle W < 0

„Тялото съдържа топлина“

✗ горещият чай има много топлина

✓ има голяма вътрешна енергия; топлината е пренесената енергия

Изотермен значи без топлина

✗ изотермен процес: Q=0\displaystyle Q = 0

✓ ΔU=0\displaystyle \Delta U = 0, а Q=W\displaystyle Q = W; без топлина е адиабатният

COP > 1 е невъзможен

✗ термопомпа с COP = 4 нарушава запазването на енергията

✓ тя пренася топлина отвън: Q1=Q2+W\displaystyle Q_1 = Q_2 + W

Отворен хладилник

✗ отвореният хладилник охлажда кухнята

✓ загрява я: отдава Q1=Q2+W\displaystyle Q_1 = Q_2 + W – повече, отколкото изнася

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9
✓ 0

Кой е първият принцип на термодинамиката (W\displaystyle W – работата, извършена от газа)?

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

12. Обобщение

  • ✓ Едноатомен идеален газ: U=32nRTU = \frac{3}{2}nRT; работата на газа е лицето под кривата в p–V диаграмата, при p=constp = \text{const} – W=pΔVW = p\Delta V
  • ✓ Първи принцип: Q=ΔU+WQ = \Delta U + W, като WW е работата, извършена от газа
  • ✓ : W=0W = 0; : ΔU=0\Delta U = 0; адиабатен: Q=0Q = 0, pVγ=constpV^{\gamma} = \text{const}
  • ✓ Двигател: Q1=W+Q2Q_1 = W + Q_2, η=WQ1≤1−T2T1\eta = \frac{W}{Q_1} \le 1 - \frac{T_2}{T_1} (в келвини)
  • ✓ Термопомпа: COP=Q1W≤T1T1−T2\mathrm{COP} = \frac{Q_1}{W} \le \frac{T_1}{T_1 - T_2} – може да е много по-голям от 1
  • ✓ Втори принцип: топлината сама тече от топло към студено; ентропията на не намалява

💡 Интересен факт

През 1867 г. Джеймс Клерк Максуел измисля „демон“ – малко същество, което стои при вратичка между две половини на съд с газ и пропуска бързите молекули само надясно, а бавните – само наляво. Така дясната половина би се затоплила, а лявата изстинала, без да се извършва работа – в нарушение на втория принцип. Загадката се решава едва през XX век: демонът трябва да помни кои молекули е пропуснал, а изтриването на информация, както показват Ролф Ландауер (1961) и Чарлз Бенет (1982), неизбежно отделя топлина и увеличава ентропията. Оказва се, че информацията също е физична.